をBell数とします。Bell数については
52:ベル数 - INTEGERS
Bell数の母関数表示と第二種Stirling数 - INTEGERS
で記事にしましたが、書こうと思ってその後書き忘れていた部分を書こうと思います(四回分)。
Bell数については次の二つの関係式が重要です:
‐①
‐②
ここで、は第二種Stirling数です。第二種Stirling数については漸化式
が重要です。
今回のメインは①、②の両方を含む一般化であるHurst-Schultzの定理の解説です。
Hurst-Schultzの定理 を非負整数とするとき、が成り立つ。
とすれば①が、とした後にとすれば②が復元できます。
証明. に関する帰納法で証明する。のときは容易にチェックできる。なので、で正しいと仮定すると、
と変形できる。最後は二項定理を用いている。
なので、とおくことにより、
を得る(②を用いた)。よって、
となって、のときも成立することが示された。 Q.E.D.