インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

593:Leyland素数

京都大学の入試問題としても出題された、「素数p, qを用いてp^q+q^pと表すことのできる素数は17のみである」ということに関連する記事を以前書きました:

integers.hatenablog.com

上記記事では巡回和素数という方向性の一般化を提案しましたが、この記事ではp, qを素数とは限らない場合を考えましょう。そうすれば、

2^9+9^2=593

のように他の素数にもっとたくさん出会うことができます。

ちなみに、以前の記事では不親切にも証明を載せませんでしたので、もっちょさんの記事を参考記事として挙げておきます:
motcho.hateblo.jp

Leyland数

1より大きい整数a, bを用いてa^b+b^aと表すことのできる数のことをLeyland数と言います。例えば、100はLeyland数です:

2^6+6^2=100

Leyland素数

素数であるようなLeyland数のことをLeyland素数と言います。

最初の20個は次のようになっています:

2^3+3^2=17
2^9+9^2=593
2^{15}+15^2=32993
2^{21}+21^2=2097593
2^{33}+33^2=8589935681
5^{24}+24^5=59604644783353249
3^{56}+56^3=523347633027360537213687137
15^{32}+32^{15}=43143988327398957279342419750374600193
7^{54}+54^7=4318114567396436564035293097707729426477458833
33^{38}+38^3=5052785737795758503064406447721934417290878968063369478337

\begin{equation}\begin{split} &8^{69}+69^{8}=\\ &205688069665150755269371147819668813122841983204711281293004769\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split} &9^{76}+76^9=\\ &3329896365316142756322307042065269797678257903507506764421250291562312417\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split} &21^{68}+68^{21}=\\ &8145392978596353266562523042658226096498925896754725985800958011876889320\\ &52096060144958129\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split}&34^{75}+75^{34}=\\ &7259701736680389461922586102342375953169154793471358981661239413987142371\\ &528493467259545421437269088935158394128249\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split} &9^{122}+122^9=\\ &2615689274578828746087332117575823150908922172141952502565756583139729012\\
&81170319830426649720495055337775965208077073\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split} &56^{87}+87^{56}=\\ &1236967671987416481862879405637210031280151585721349811617486925602259224\\
&2682725726278949875372985266212287045444869425324997240212625521803112722\\
&2474177\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split} &80^{81}+81^{80}=\\ &1461208759203837875115285850952451253353609602804419017882293521848673019\\
&4880516808459166772134240378240755073828170296740373082348622309614668344\\
&831750401\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split} &32^{135}+135^{32}=\\ &1567642659410349579823312128448524673447114170438997107594692976197222517\\
&2212960785966117788188423070988008287120396547654329038411926653486418174\\
&6784056675684904885421941056286488906715343079485633768193\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split} &67^{114}+114^{67}=\\ &1487741603558143762538241869302565921371838916199586081812484138867368496\\
&3203665153674781821433446993366770573625979847557897428218464508224911011\\
&186563057321746523584348117445155146293741592207500868288335433\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split} &97^{114}+114^{97}=\\ &3104400225793793806882951206932841872044284971474604425926207021147590915\\
&6430718104897916371346903019988299736264997845256331029880527467485588680\\
&2903210086906384029694358374892327094643216342041603481502823510666752548\\
&83643073\end{split}\end{equation}

知られている最大のLeyland素数

2012年11月に5122^{6753}+6753^{5122}が素数であることが証明されているようです(25050桁)。

a^b+b^aと二変数の形はしているものの、Leyland素数の無限性は非常に難しい問題だと思われます。

インスタントラーメン発明記念館

皆さんは大阪府池田市にあるインスタントラーメン記念館をご存知でしょうか:
www.instantramen-museum.jp

ここでは、

マイカップヌードルを作ることができます!


せきゅーんも先日行ってまいりました:

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このようにカップに落書きお絵描きすることができるのですが、私は当然Leyland素数を描きました(途中、写り込んでいる緑の絵は私の母の作品です)。

実は、味やξ(具材)も自分で選ぶことができます。

味はよく見かけるもの以外にも、あまり見かけないトマト味があったのでそれを選びました:
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ξはひよこちゃんナルト、チーズ、餃子(みたいなもの)にしました。

組合せを間違えると不味くなってしまいますが、今回は美味しく作ることができました:
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(トマト味は美味しいですが、思ったよりも辛めでした。)