インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

22/7:円周率近似値の日

円周率 22/7

7/22は\frac{22}{7}が円周率の近似値であることから円周率近似値の日などと呼ばれていますが、違和感はありますね(22月7日の方がふさわしい)。昔、この日に日食があったときに試験を5分で終わらせて日食を見たのを覚えています。

tsujimotterさんが二年前に記事を書かれていますが
tsujimotter.hatenablog.com

この約率\frac{22}{7}よりも近似の精度が高い密率\frac{355}{113}いいですよね。

\displaystyle \frac{355}{113}=3.14159292035\cdots

「イチイチサンサンゴゴ」などと覚えたものです(113は素数です)。

東大で\pi > 3.05の証明を要求する問題がありましたが、ここでは

3.14150943396 < \pi < 3.14285714286

の証明でも披露して筆を置くことにしましょう:

\begin{equation}\begin{split} \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx &= \int_0^1(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4)dx-4\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} \\ &= \frac{22}{7}-\pi\end{split}\end{equation}

左辺は正なので、\pi < 22/7 < 3.14285714286である。

一方、 

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^1\frac{x^5(1-x)^6(197+462x^2)}{530(1+x^2)}dx\\ &= \frac{1}{530}\int_0^1(462x^{11}-2772x^{10}+6665x^9-7650x^8+3220x^7+938x^6 \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + 197x^5-2120x^4+2120x^2-2120)dx+\frac{2120}{530}\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} \\ &= \pi - \frac{333}{106}\end{split}\end{equation}

左辺は正なので、\pi > 333/106 > 3.14150943396である。

\frac{333}{106}を出したのは若干積分計算が楽だからであって、密率も出せます:

\displaystyle 0 < \int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx = \pi - \frac{355}{113}