インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

ζ(3)の二項係数を用いた級数表示

ζ(3)

この記事では

\displaystyle \zeta (3) = \frac{5}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}

を証明します(Markov 1890)。使うテクニックは望遠鏡和
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のみです。

非負整数kに対して、A_k

\displaystyle A_k := \frac{(-1)^{k}k!^2}{n^2(n^2-1^2)\cdots (n^2-k^2)}

と定義します。このとき、

\displaystyle A_{k-1}-A_k = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!^2}{n^2(n^2-1^2)\cdots (n^2-(k-1)^2)} \left( 1+\frac{k^2}{n^2-k^2} \right) = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!^2}{(n^2-1^2)\cdots (n^2-k^2)}

なので、2以上の整数nに対して

\begin{align} \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!^2}{(n^2-1^2)\cdots (n^2-k^2)} &= \sum_{k=1}^{n-1}(A_{k-1}-A_k) \\ &= A_0-A_{n-1} \\ &= \frac{1}{n^2}-\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!^2}{n^2(n^2-1^2)\cdots (n^2-(n-1)^2)}\end{align}

が得られます(望遠鏡和)。x^2-y^2=(x-y)(x+y)型の因数分解により

\displaystyle n^2(n^2-1^2)\cdots (n^2-(n-1)^2) = n(2n-1)!

と変形できるので、

\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!^2}{(n^2-1^2)\cdots (n^2-k^2)} = \frac{1}{n^2}-\frac{2(-1)^{n-1}}{n^2\binom{2n}{n}} ー①

が成り立ちます。次に、

\displaystyle B_{n, k} := \frac{k!^2(n-k)!}{2k^3(n+k)!}=\frac{1}{2k^3\binom{n+k}{k}\binom{n}{k}}

とします。すると、

\begin{align}B_{n, k}-B_{n-1, k} &= \frac{k!^2(n-1-k)!}{2k^3(n-1+k)!}\left( \frac{n-k}{n+k}-1 \right) \\ &=-\frac{(k-1)!^2(n-1-k)!}{(n+k)!}\\ &= -\frac{(k-1)!^2}{(n-k)\cdots (n-1)n(n+1)\cdots (n+k)} \\ &= -\frac{(k-1)!^2}{n(n^2-1^2)\cdots (n^2-k^2)}\end{align}

なので、自然数Nに対して、①より

\displaystyle \sum_{n=1}^N\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k(B_{n, k}-B_{n-1, k}) = \sum_{n=1}^N\frac{1}{n^3}-2\sum_{n=1}^N\frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}} ー②

を得ます。一方、二重和の和の取り方を変えると(nに関する望遠鏡をとることによって)、

\begin{align} \sum_{n=1}^N\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k(B_{n, k}-B_{n-1, k}) &= \sum_{k=1}^N(-1)^k\sum_{n=k+1}^N(B_{n, k}-B_{n-1, k}) \\&= \sum_{k=1}^N(-1)^k(B_{N, k}-B_{k, k}) \\ &= \sum_{k=1}^N\frac{(-1)^k}{2k^3\binom{N+k}{k}\binom{N}{k}}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^N\frac{(-1)^{k-1}}{k^3\binom{2k}{k}}\end{align}ー③

と変形できます。\binom{N+k}{k} \geq 1であり、

\displaystyle \binom{N}{k}=\frac{N}{k}\binom{N-1}{k-1}\geq \frac{N}{k}

なので、

\displaystyle \left|  \sum_{k=1}^N\frac{(-1)^k}{2k^3\binom{N+k}{k}\binom{N}{k}} \right| \leq \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\frac{1}{2k^2} \leq \frac{\zeta (2)}{2}\frac{1}{N} \xrightarrow{N \to \infty} 0.

従って、②と③を合わせてN \to \inftyとすればよいです。