インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

100以下の自然数に魅せられて

療養中であったRamanujanの見舞いに行く途中、Hardyが乗ったタクシーのナンバーが1729であった。
Hardyが

「その数はどうでもいい退屈な数字であった。凶兆でなければよいが」

というと、Ramanujanは即座に

「そんなことはありません。大変面白い数です。それは二つの(正の)三乗数の和で二通りに表すことができる最小の数です」

と返したと言われている。

この有名なエピソードから1729ラマヌジャンのタクシー数と呼ばれています。


こういう話を聞くと、1729というただの一つの数に愛着が湧いてきませんか?


まだ読んでいないのですが、

マーク・チャンバーランド (著), 川辺 治之 (翻訳), 「ひとけたの数に魅せられて」, 岩波書店

という本があるようです。

他にも

デイヴィッドウェルズ(著), 「数(すう)の事典」, 東京図書

など、数の魅力的な特徴をその著者の好みで集めた書籍が幾つか存在します。


ブログ「インテジャーズ」も数の特徴的な性質をたくさん紹介しようというものですが、執筆した記事も200を超えました(証明付きで解説したいというポリシーのために定理解説のカテゴリーに入る記事が多いですが汗)。


小さい数から順番に紹介すると、いつまでたっても1729には辿り着かないでしょうし、もっともっと大きい数にも魅力的な数はたくさんあります。なので、紹介する数の順番には特にルールがなく、書こうと思った数から書いています。


とは言っても、それなりの数の記事を書いていけば、小さい数(例えば100以下の自然数)については当ブログで紹介した特徴的な性質が一つはあるという状況になってもおかしくないと思います。


というわけで、100以下の全ての自然数について少なくとも一つは特徴的な性質を当ブログで紹介するという目標を立て(ただし、大きい数もちゃんと取り扱いたいので、目標達成への期限は設けない)、それがどれだけ達成されたかをこの記事にまとめておくことにしましょう。

  • 既に記事を書いている数については、その特徴を書き、記事へのリンクを貼ります。
  • 一つの数について二つ以上の記事がある場合は、暫定的に私が一番好きな特徴を選んで一つだけ書きます。
  • 一つも記事がない数についても、今後記事を書く予定がある特徴についてはリンクなしでその特徴を書いておきます(現在該当なし)。

最終更新日:2017/10/19
達成率:62/100

100以下の自然数の特徴まとめ

1:整数であるような唯一の多重調和和

integers.hatenablog.com

24で割った余りが1であるような素数は必ず二つの平方数の和として表すことができる

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3:最小のレルヒ素数

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4:全ての自然数は四つ以下の平方数の和として表す事ができる

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5:ハッピーエンド問題 HE(4)=5

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6:唯一の素数サンドウィッチ完全数

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73の補助素数であって非隣接条件を満たす最小の数

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8:カタラン予想「隣り合う冪乗数の非自明なペアは(8, 9)のみである」

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9:非正則指数の世界記録

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10

11:最小のレピュニット素数

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12:最小のサブライム数

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13:発見されている唯一の素数であるようなレルヒ商

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14:偶数であるような最小の非トーシェント数

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15:最小のエマーパイムス

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16:天才素数少年の母の発言「違うでしょ、16でしよ。」

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17:唯一のジェノッキ素数

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18:辺の長さが正整数で周長と面積がともにnである正方形でない長方形が存在する唯一の整数n

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19:(素数の三乗) - (素数の三乗) と書ける唯一の素数

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20:交代的数を倍数にもつための必要十分条件は20の倍数でないこと

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2121連続ハーシャッド数は存在しない

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22:円周率近似値である約率の分子

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23:ラマヌジャンのτ関数について、半数の素数p\tau (p)23で割り切れる

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244の階乗。博士曰く潔い

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25p!/p\#+1が平方数になるのは、7!/7\#+1=25のみであろう

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26:アルファベットの数。全ての素数は26変数多項式で表現できる

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27:コラッツ予想の1に至るまでのステップ回数が50以下で最も多い数

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28:二番目の完全数

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29:3点集合に入る位相の数

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30:リュカ数列が原始的約数を持たない最大の番号

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31:ラマヌジャンによる円周率近似作図のキーとなる数

113=12^2-31, 355=18^2+31
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32

33:相異なる三角数の和として表すことのできない最大の整数

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35

36:二番目に小さい平方三角数(一番小さいのは1)

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37:最小の非正則素数

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38

39:なんら面白い性質を持たない最小の整数と言われることが多いが別にそんなことはない数

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4141以下の素数の個数は13個であるが、13以下の素数の総和は41に等しい

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4242の繰り返し+1は最初の五つが素数である

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43:Göbel数列はx_{43}で初めて非整数となる

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47n, n+1がともにウラム数となるようなnのうち、知られている最大の整数

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49:最初の六つの合成数の和

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52:源氏香の組み合わせの数

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53:素数pであって、p^2(p+1)^2の間に双子素数が含まれないような最大の素数(予想)

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57:グロタンディーク素数

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59:合成数であるような最小のユークリッド数の小さい方の素因数

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60:二つ目の基準完全数

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61e^{-\frac{1}{2}}に最も近い整数。正則素数は素数全体のe^{-\frac{1}{2}}%を占めると予想されている

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63:Zsigmondyの定理における例外的数

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67908=67+179+283+379は面白い性質をもつ

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70:最小の奇妙数

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7111^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}が成り立つ、知られている唯一の素数

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73:二番目のアペリー素数

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75759乗の最初と最後に75が現れる

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76N \geq 76であれば、1, 2, \dots, Nを四色で塗り分けたとき、必ず長さ3の同色等差数列が存在する

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7777以下の素数の個数は21個であるが、21以下の素数の総和は77に等しい

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786の倍数であって無平方数であるもののうち、関-Bernoulli数の分母になり得ない最小の自然数

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799-Göbel数列\{x_n^{(9)}\}x_{79}^{(9)}で初めて非整数となる

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82

8310-Göbel数列\{x_n^{(10)}\}x_{97}^{(10)}で初めて非整数となる。

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85:素数番目の素数と素数番目の素数との積でありなが、合成数番目の合成数でない最小の自然数

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8911番目のフィボナッチ数。1/89=0.011235…89の逆数の小数点以下の数に最初の方のFibonacci数0,1,1,2,3,5が現れる

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90\varphi (n)= \pi (n)が成り立つ最大の整数

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91:合成数であるような最小のヘックス数

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96

97:最小の超ハッピー素数

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99

100:「n以下の素数の個数」以下の素数の和がnに等しくなるような最大の自然数

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