インテジャーズ

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インテジャーズ

数、特に整数に関する記事。

100以下の自然数に魅せられて

療養中であったRamanujanの見舞いに行く途中、Hardyが乗ったタクシーのナンバーが1729であった。
Hardyが

「その数はどうでもいい退屈な数字であった。凶兆でなければよいが」

というと、Ramanujanは即座に

「そんなことはありません。大変面白い数です。それは二つの(正の)三乗数の和で二通りに表すことができる最小の数です」

と返したと言われている。

この有名なエピソードから1729はラマヌジャンのタクシー数と呼ばれています。


こういう話を聞くと、1729というただの一つの数に愛着が湧いてきませんか?


まだ読んでいないのですが、

マーク・チャンバーランド (著), 川辺 治之 (翻訳), 「ひとけたの数に魅せられて」, 岩波書店

という本があるようです。

他にも

デイヴィッドウェルズ(著), 「数(すう)の事典」, 東京図書

など、数の魅力的な特徴をその著者の好みで集めた書籍が幾つか存在します。


ブログ「インテジャーズ」も数の特徴的な性質をたくさん紹介しようというものですが、執筆した記事も200を超えました(証明付きで解説したいというポリシーのために定理解説のカテゴリーに入る記事が多いですが汗)。


小さい数から順番に紹介すると、いつまでたっても1729には辿り着かないでしょうし、もっともっと大きい数にも魅力的な数はたくさんあります。なので、紹介する数の順番には特にルールがなく、書こうと思った数から書いています。


とは言っても、それなりの数の記事を書いていけば、小さい数(例えば100以下の自然数)については当ブログで紹介した特徴的な性質が一つはあるという状況になってもおかしくないと思います。


というわけで、100以下の全ての自然数について少なくとも一つは特徴的な性質を当ブログで紹介するという目標を立て(ただし、大きい数もちゃんと取り扱いたいので、目標達成への期限は設けない)、それがどれだけ達成されたかをこの記事にまとめておくことにしましょう。

  • 既に記事を書いている数については、その特徴を書き、記事へのリンクを貼ります。
  • 一つの数について二つ以上の記事がある場合は、暫定的に私が一番好きな特徴を選んで一つだけ書きます。
  • 一つも記事がない数についても、今後記事を書く予定がある特徴についてはリンクなしでその特徴を書いておきます。

100以下の自然数の特徴まとめ

1:乗法の単位元。オイラーの等式に現れる。
integers.hatenablog.com

24で割った余りが1であるような素数は必ず2つの平方数の和として表すことができる
integers.hatenablog.com

3:最小のレルヒ素数
integers.hatenablog.com

4:全ての自然数は4つ以下の平方数の和として表す事ができる
integers.hatenablog.com

5:ハッピーエンド問題 HE(4)=5
integers.hatenablog.com

6:唯一の素数サンドウィッチ完全数
integers.hatenablog.com

7:3つあるラマヌジャンの奇跡の素数の2つ目の素数
integers.hatenablog.com

8:カタラン予想「隣り合う冪乗数の非自明なペアは(8, 9)のみである」
いずれ証明を紹介するつもりです。
tsujimotter.hatenablog.com

9:非正則指数の世界記録
integers.hatenablog.com

10

11:最小のレピュニット素数
integers.hatenablog.com

12:最小のサブライム数
integers.hatenablog.com

13:発見されている唯一の素数であるようなレルヒ商
integers.hatenablog.com

14

1515定理
付随する行列の成分が全て整数であるような正定値二次形式が全ての自然数を表現するための必要十分条件は1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15を表現することである。

16:天才素数少年の母の発言「違うでしょ、16でしよ。」
integers.hatenablog.com

17:唯一のジェノッキ素数
integers.hatenablog.com

18

19X_0(11)の超特異素数のうち、一桁目が9であるような最小の素数
integers.hatenablog.com

20:交代的数を倍数にもつための必要十分条件は20の倍数でないこと
integers.hatenablog.com

2121連続ハーシャッド数は存在しない
integers.hatenablog.com

22:円周率近似値である約率の分子
integers.hatenablog.com

23:ラマヌジャンのτ関数について、半数の素数p\tau (p)23で割り切れる。
integers.hatenablog.com

244の階乗。博士曰く潔い。
integers.hatenablog.com

25

26:フェルマーのサンドイッチ定理 (26は平方数と正の立方数に挟まれる唯一の整数)
これはまだ記事を書いてないです。y^2=x^3-2の整数解が(x, y)=(3,\pm 5)のみであることの解説はブログなどでも見かけますが、日本語の「挟まれる」の意味を考えるとy^2=x^3+2の整数解が(x, y)=(-1, \pm 1)のみであることも合わせて考えるべきだと思います。y^2=x^3+kはMordell方程式と呼ばれており、楕円曲線論やBakerの理論などを用いて研究はかなり進んでいます。

27:コラッツ予想の1に至るまでのステップ回数が50以下で最も多い(111回)数
integers.hatenablog.com

28:2番目の完全数
integers.hatenablog.com

29:3点集合に入る位相の数
integers.hatenablog.com

30:任意のリュカ数列 \{u_n\}について、n > 30ならばu_nは原始的約数を持つ
integers.hatenablog.com

31:ラマヌジャンによる円周率近似作図のキーとなる数
(113=12^2-31, 355=18^2+31)
integers.hatenablog.com

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33:相異なる三角数の和として表すことのできない最大の整数
integers.hatenablog.com

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36:2番目に小さい平方三角数(1番小さいのは1
integers.hatenablog.com

37:最小の非正則素数
integers.hatenablog.com

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39146891012⋯と素数でない自然数をくっつけていってできる素数のうち最小のものは1468910121415161820212224252627283032333435363839である(39までくっつけた数)
integers.hatenablog.com

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41:最大のオイラーの幸運数
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43:Göbel数列はx_{43}で初めて非整数となる。
integers.hatenablog.com

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47n, n+1がともにウラム数となるようなnのうち、知られている最大の整数
integers.hatenablog.com

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52:源氏香の組み合わせの数
integers.hatenablog.com

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57:グロタンディーク素数
integers.hatenablog.com

58
5959は合成数であるような最小のユークリッド数30031の小さい方の素因数
integers.hatenablog.com

60:2つ目の基準完全数
integers.hatenablog.com

61e^{-\frac{1}{2}}に最も近い整数。正則素数は素数全体のe^{-\frac{1}{2}}%を占めると予想されている。
integers.hatenablog.com

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63:Zsigmondyの定理における例外的数
integers.hatenablog.com

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70:最小の奇妙数
integers.hatenablog.com

7111^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}が成り立つ、知られている唯一の素数
integers.hatenablog.com

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73:2番目のアペリー素数
integers.hatenablog.com

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786の倍数であって無平方数であるもののうち、関-Bernoulli数の分母になり得ない最小の自然数
integers.hatenablog.com

799-Göbel数列\{x_n^{(9)}\}x_{79}^{(9)}で初めて非整数となる。
integers.hatenablog.com

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8310-Göbel数列\{x_n^{(10)}\}x_{97}^{(10)}で初めて非整数となる。
integers.hatenablog.com

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85:素数番目の素数と素数番目の素数との積でありなが、合成数番目の合成数でない最小の自然数。
integers.hatenablog.com

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8911番目のフィボナッチ数。1/89=0.011235…89の逆数の小数点以下の数に最初の方のFibonacci数0,1,1,2,3,5が現れる。
integers.hatenablog.com

90\varphi (n)= \pi (n)が成り立つ最大の整数
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91:合成数であるような最小のヘックス数
integers.hatenablog.com

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97:コラッツ予想の1に至るまでのステップ回数が100以下で最も多い(118回)数
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