インテジャーズ

インテジャーズ

数、特に整数に関する記事。

34以上の任意の整数は相異なる三角数の和として表すことができる

この記事では標題の主張を証明します。この事実から33は「相異なる三角数の和として表すことのできない最大の整数」という特徴を持っていることがわかります。
証明は
integers.hatenablog.com
で紹介したSierpinskiの補題に基づきます:

補題 (Sierpinski 1955) 自然数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty}が次の二条件を満たすと仮定する:

  1. 非負整数rが存在して、n \geq r+1に対してa_{n+1}\leq 2a_nが成り立つ。
  2. 非負整数lが存在して、l\leq N < l+a_{r+1}なる任意の整数NN=\sum_{n=1}^r\epsilon_na_n \ (\epsilon_n \in \{0, 1\})と書ける。

このとき、l以上の任意の整数は数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty}の有限個の相異なる項の和として表される(ただし、l=0のときは0個の和=0も含める)。

標題の主張の証明 三角数T_nn \geq 2T_{n+1} \leq 2T_nを満たす。l=34, \ r=8のときにSierpinskiの補題の条件を満たすことを確認すれば試合終了。

\begin{align}&34=6+28 \\
&35 =1+6+28 \\
&36 =36 \\
&37 =1+36 \\
&38 =10+28 \\
&39 =1+10+28 \\
&40 =1+3+36 \\
&41 =3+10+28 \\
&42 =6+36 \\
&43 =1+6+36 \\
&44 = 6+10+28\\
&45 =45 \\
&46 =1+45 \\
&47 =1+10+36 \\
&48 =1+3+6+10+28 \\
&49 =21+28 \\
&50 =1+3+10+36 \\
&51 =6+45 \\
&52 =1+6+45 \\
&53 =1+6+10+36 \\
&54 =3+6+45 \\
&55 =10+45 \\
&56 =1+10+45 \\
&57 =21+36 \\
&58 =1+21+36 \\
&59 =1+3+10+45 \\
&60 =15+45 \\
&61 =1+15+45 \\
&62 =1+6+10+45 \\
&63 =3+15+45 \\
&64 =28+36 \\
&65 =1+28+36 \\
&66 =21+45 \\
&67 =3+28+36 \\
&68 =1+3+28+36 \\
&69 =3+21+45 \\
&70 =10+15+45 \\
&71 =1+10+15+45 \\
&72 =6+21+45 \\
&73 =3+10+15+45 \\
&74 =10+28+36 \\
&75 =1+10+28+36 \\
&76 =10+21+45 \\
&77 =3+10+28+36 \\
&78 =1+3+10+28+36 \end{align}

Q.E.D.

付録: 三角数

平方三角数については昔記事を書いたのですが
integers.hatenablog.com
三角数の数値を載せていなかったので、少し付録として載せておきます。

\begin{align}&T_{1}= 1\\
&T_{2}= 3\\
&T_{3}= 6\\
&T_{4}= 10\\
&T_{5}= 15\\
&T_{6}= 21\\
&T_{7}= 28\\
&T_{8}= 36\\
&T_{9}= 45\\
&T_{10}= 55\\
&T_{11}= 66\\
&T_{12}= 78\\
&T_{13}= 91\\
&T_{14}= 105\\
&T_{15}= 120\\
&T_{16}= 136\\
&T_{17}= 153\\
&T_{18}= 171\\
&T_{19}= 190\\
&T_{20}= 210\\
&T_{21}= 231\\
&T_{22}= 253\\
&T_{23}= 276\\
&T_{24}= 300\\
&T_{25}= 325\\
&T_{26}= 351\\
&T_{27}= 378\\
&T_{28}= 406\\
&T_{29}= 435\\
&T_{30}= 465\\
&T_{31}= 496\\
&T_{32}= 528\\
&T_{33}= 561\\
&T_{34}= 595\\
&T_{35}= 630\\
&T_{36}= 666\\
&T_{37}= 703\\
&T_{38}= 741\\
&T_{39}= 780\\
&T_{40}= 820\\
&T_{41}= 861\\
&T_{42}= 903\\
&T_{43}= 946\\
&T_{44}= 990\\
&T_{45}= 1035\\
&T_{46}= 1081\\
&T_{47}= 1128\\
&T_{48}= 1176\\
&T_{49}= 1225\\
&T_{50}= 1275\\
&T_{51}= 1326\\
&T_{52}= 1378\\
&T_{53}= 1431\\
&T_{54}= 1485\\
&T_{55}= 1540\\
&T_{56}= 1596\\
&T_{57}= 1653\\
&T_{58}= 1711\\
&T_{59}= 1770\\
&T_{60}= 1830\\
&T_{61}= 1891\\
&T_{62}= 1953\\
&T_{63}= 2016\\
&T_{64}= 2080\\
&T_{65}= 2145\\
&T_{66}= 2211\\
&T_{67}= 2278\\
&T_{68}= 2346\\
&T_{69}= 2415\\
&T_{70}= 2485\\
&T_{71}= 2556\\
&T_{72}= 2628\\
&T_{73}= 2701\\
&T_{74}= 2775\\
&T_{75}= 2850\\
&T_{76}= 2926\\
&T_{77}= 3003\\
&T_{78}= 3081\\
&T_{79}= 3160\\
&T_{80}= 3240\\
&T_{81}= 3321\\
&T_{82}= 3403\\
&T_{83}= 3486\\
&T_{84}= 3570\\
&T_{85}= 3655\\
&T_{86}= 3741\\
&T_{87}= 3828\\
&T_{88}= 3916\\
&T_{89}= 4005\\
&T_{90}= 4095\\
&T_{91}= 4186\\
&T_{92}= 4278\\
&T_{93}= 4371\\
&T_{94}= 4465\\
&T_{95}= 4560\\
&T_{96}= 4656\\
&T_{97}= 4753\\
&T_{98}= 4851\\
&T_{99}= 4950\\
&T_{100}= 5050\end{align}