インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

ジョルダンのトーシェント関数

Jordanのトーシェント関数J_k(n)は次のように定義されます:

定義1 k, nを自然数とするとき、
\displaystyle J_k(n) := n^k \prod_{p \mid n}\left( 1-\frac{1}{p^k} \right)
J_k(n)を定義し、Jordanのトーシェント関数と呼ぶ。

pと書けば素数です。

k=1のときEulerのトーシェント関数\varphi (n)に一致します(J_1(n) = \varphi(n))。名前についているJordanはJordanの曲線定理などで有名なあのJordanです。

定義から、J_k(1)=1, \ J_k(2) = 2^k-1であり*1n \geq 3のときJ_k(n)は常に偶数であることがわかります。Jordanのトーシェント関数はEulerのトーシェント関数およびMersenne数の同時一般化とも言えるでしょう。

J_2(n)およびJ_3(n)1 \leq n \leq 30における値は次のようになっています:

J_2(n) \ (1 \leq n \leq 30):

\begin{align}&J_2(1)= 1, \ J_2(2)= 3, \ J_2(3)= 8, \ J_2(4)= 12, \ J_2(5)= 24, \\
&J_2(6)= 24, \ J_2(7)= 48, \ J_2(8)= 48, \ J_2(9)= 72, \ J_2(10)= 72, \\
&J_2(11)= 120, \ J_2(12)= 96, \ J_2(13)= 168, \ J_2(14)= 144, \ J_2(15)= 192,\\
&J_2(16)= 192, \ J_2(17)= 288, \ J_2(18)= 216, \ J_2(19)= 360, \ J_2(20)= 288,\\
&J_2(21)= 384, \ J_2(22)= 360, \ J_2(23)= 528, \ J_2(24)= 384, \ J_2(25)= 600,\\
&J_2(26)= 504, \ J_2(27)= 648, \ J_2(28)= 576, \ J_2(29)= 840, \ J_2(30)= 576\end{align}


J_3(n) \ (1 \leq n \leq 30):

\begin{align}&J_3(1)= 1, \ J_3(2)= 7, \ J_3(3)= 26, \ J_3(4)= 56, \ J_3(5)= 124,\\
&J_3(6)= 182, \ J_3(7)= 342, \ J_3(8)= 448, \ J_3(9)= 702, \ J_3(10)= 868,\\
&J_3(11)= 1330, \ J_3(12)= 1456, \ J_3(13)= 2196, \ J_3(14)= 2394, \ J_3(15)= 3224,\\
&J_3(16)= 3584, \ J_3(17)= 4912, \ J_3(18)= 4914, \ J_3(19)= 6858, \ J_3(20)= 6944,\\
&J_3(21)= 8892, \ J_3(22)= 9310, \ J_3(23)= 12166, \ J_3(24)= 11648, \ J_3(25)= 15500,\\
&J_3(26)= 15372, \ J_3(27)= 18954, \ J_3(28)= 19152, \ J_3(29)= 24388, \ J_3(30)= 22568\end{align}


J_k(n)は次の式で特徴付けられます:

命題 \displaystyle \ \ \ \sum_{d \mid n}J_k(n) = n^k.

証明. Jordanのトーシェント関数の定義から

\displaystyle J_k(n) = \sum_{d\mid n} \mu (d)\frac{n^k}{d^k}

なので、 メビウス関数 - インテジャーズMöbiusの反転公式(その一)から所望の等式が従う。 Q.E.D.


Dedekindの\psi関数

\displaystyle \psi (n) = n\prod_{p \mid n} \left( 1+\frac{1}{p} \right)

はJordanのトーシェント関数で

\displaystyle \psi (n) = \frac{J_2(n)}{J_1(n)}

と書けます。これを受けて、一般化Dedekind-\psi関数は次のように定義されます:

定義2 k, nを自然数とするとき、
\displaystyle \psi_k(n) := \frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)} = n^k \prod_{p \mid n}\left( 1+\frac{1}{p^k} \right)
\psi_k(n)を定義し、一般化されたDedekindの\psi関数と呼ぶ。

\psi (n) \ (1 \leq n \leq 30):

\begin{align}&\psi (1)= 1, \ \psi (2)= 3, \ \psi (3)= 4, \ \psi (4)= 6, \ \psi (5)= 6,\\
&\psi (6)= 12, \ \psi (7)= 8, \ \psi (8)= 12, \ \psi (9)= 12, \ \psi (10)= 18,\\
&\psi (11)= 12, \ \psi (12)= 24, \ \psi (13)= 14, \ \psi (14)= 24, \ \psi (15)= 24,\\
&\psi (16)= 24, \ \psi (17)= 18, \ \psi (18)= 36, \ \psi (19)= 20, \ \psi (20)= 36,\\
&\psi (21)= 32, \ \psi (22)= 36, \ \psi (23)= 24, \ \psi (24)= 48, \ \psi (25)= 30,\\
&\psi (26)= 42, \ \psi (27)= 36, \ \psi (28)= 48, \ \psi (29)= 30, \ \psi (30)= 72\end{align}

\psi_2(n) \ (1 \leq n \leq 30):

\begin{align}&\psi_2(1)= 1, \ \psi_2(2)= 5, \ \psi_2(3)= 10, \ \psi_2(4)= 20, \ \psi_2(5)= 26,\\
&\psi_2(6)= 50, \ \psi_2(7)= 50, \ \psi_2(8)= 80, \ \psi_2(9)= 90, \ \psi_2(10)= 130,\\
&\psi_2(11)= 122, \ \psi_2(12)= 200, \ \psi_2(13)= 170, \ \psi_2(14)= 250, \ \psi_2(15)= 260,\\
&\psi_2(16)= 320, \ \psi_2(17)= 290, \ \psi_2(18)= 450, \ \psi_2(19)= 362, \ \psi_2(20)= 520,\\
&\psi_2(21)= 500, \ \psi_2(22)= 610, \ \psi_2(23)= 530, \ \psi_2(24)= 800, \ \psi_2(25)= 650,\\
&\psi_2(26)= 850, \ \psi_2(27)= 810, \ \psi_2(28)= 1000, \ \psi_2(29)= 842, \ \psi_2(30)= 1300\end{align}

GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})およびSL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})の位数

GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})およびSL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})の位数はJordanのトーシェント関数で書けます(Jordan自身が証明):

定理 自然数n, mに対して
\begin{align}\#GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &= n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=1}^mJ_k(n), \\ \#SL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &= n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=2}^mJ_k(n)\end{align}
が成り立つ。

GL_1のときを考えると

\displaystyle \#\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right) = \varphi (n)

の一般化と思えます。この節では、この定理の証明を解説します。

補題1 Fを位数qの有限体とすると、
\displaystyle \#GL_m(F) = \prod_{k=0}^{m-1}(q^n-q^k).

証明. GL_m(F)の元をm列の列ベクトルv_1, \dots, v_mを用いて(v_1, \dots, v_m)と表す。このとき、v_1としては0ベクトル以外のq^m-1通りのベクトルがあり得る。v_1を固定して考えると、v_2として取り得るベクトルはv_1の定数倍を除くq^m-q通りの候補がある。次に、v_1, v_2を固定してv_3として取り得るベクトルはv_1v_2F線形結合として書けるベクトルを除くq^m-q^2通りの候補がある。後は推して知るべし。 Q.E.D.

補題2 素数pと自然数eに対して
\begin{align}\#GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) &= p^{em^2}\prod_{k=1}^m\left( 1-\frac{1}{p^k} \right), \\ \#SL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) &= p^{e(m^2-1)}\prod_{k=2}^m\left( 1-\frac{1}{p^k}\right) \end{align}
が成り立つ。

証明

準同型写像

\varphi \colon M_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \to M_m(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})

を各成分を\bmod{p}する写像とする。また、G(m; p^e)

G(m; p^e) := \{ A \in M_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \mid \varphi (A) = 1_m\}

で定める。1_m \in GL_m(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})は単位行列。A \in G(m; p^e)ならば\det (A) \equiv 1 \pmod{p}なので、G(m; p^e)は乗法群をなす。また、定義より

\#G(m; p^e)=p^{(e-1)m^2} ー①

は容易に分かる。さて、完全列

1 \longrightarrow G(m; p^e) \longrightarrow GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \xrightarrow{\varphi \text{の制限}} GL_m(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \longrightarrow 1

があるので、補題1および①より

\begin{align} \#GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) &= \#G(m; p^e) \times \#GL_m(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = p^{(e-1)m^2} \times p^{m^2}\prod_{k=1}^m( 1-p^{-k}) \\ &= p^{em^2}\prod_{k=1}^m\left( 1-\frac{1}{p^k} \right)\end{align}

を得る。また、完全列

1 \longrightarrow SL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \longrightarrow GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) \xrightarrow{\det} (\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})^{\times} \longrightarrow 1

から

\displaystyle \#SL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}) = \frac{\#GL_m(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})}{\#(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})^{\times}} = \frac{\displaystyle p^{em^2}\prod_{k=1}^m(1-p^{-k})}{p^e(1-p^{-1})} = p^{e(m^2-1)}\prod_{k=2}^m\left( 1-\frac{1}{p^k} \right)

と計算できる。 Q.E.D.

定理の証明. \displaystyle n=\prod_{p \mid n}p^{e_p}と素因数分解されているとき、中国剰余定理

\displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq \prod_{p \mid n}\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z}

から自然な同型

\displaystyle GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \simeq \prod_{p \mid n}GL_m(\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z})

および

\displaystyle SL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \simeq \prod_{p \mid n}SL_m(\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z})

が得られる。よって、補題2より

\begin{align}\#GL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &= \prod_{p \mid n}\#GL_m(\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z}) = \prod_{p \mid n}p^{e_pm^2}\prod_{k=1}^m \left( 1-\frac{1}{p^k}\right) \\ &= n^{m^2}\prod_{k=1}^m\frac{J_k(n)}{n^k} = \frac{n^{m^2}}{n^{\frac{m(m-1)}{2}}}\prod_{k=1}^mJ_k(n) = n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=1}^mJ_k(m),\end{align}

\begin{align}\#SL_m(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) &= \prod_{p \mid n}\#SL_m(\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z}) = \prod_{p \mid n}p^{e_p(m^2-1)}\prod_{k=2}^m \left( 1-\frac{1}{p^k}\right) \\ &= n^{m^2-1}\prod_{k=2}^m\frac{J_k(n)}{n^k} = \frac{n^{m^2-1}}{n^{\frac{m(m-1)}{2}-1}}\prod_{k=2}^mJ_k(n) = n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=2}^mJ_k(m)\end{align}

と計算できる。 Q.E.D.

Riemannゼータ値の公式

Jordanのトーシェント関数および素数階乗p_n\#

を用いたRiemannゼータ値の公式を紹介してこの記事を締めくくりたいと思います:

定理 (Mező, István) k2以上の整数とするとき、
\displaystyle \zeta (k) = 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(p_{n-1}\#)^k}{J_k(p_n)\#} = \frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(p_{n-1}\#)^k}{J_k(p_n)\#}
が成り立つ。ここで、\zeta (k)はRiemannゼータ値、p_nn番目の素数であり、便宜的にp_0\#:=1と定める。

証明. 自然数を

  • 1,
  • 最大の素因数が2,
  • 最大の素因数が3,
  • 最大の素因数が5,

と分類して足し合わせていくことにより、

\displaystyle \zeta (k) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^k} = 1+\sum_{j_1=1}^{\infty}\frac{1}{(p_1^{j_1})^k}+\sum_{j_1=0}^{\infty}\sum_{j_2=1}^{\infty}\frac{1}{(p_1^{j_1}p_2^{j_2})^k} + \sum_{j_1=0}^{\infty}\sum_{j_2=0}^{\infty}\sum_{j_3=1}^{\infty}\frac{1}{(p_1^{j_1}p_2^{j_2}p_3^{j_3})^k}+\cdots

と変形できる。一方、等比級数の和の公式により

\displaystyle \sum_{j_1=0}^{\infty}\cdots \sum_{j_{n-1}=0}^{\infty}\sum_{j_n=1}^{\infty} \frac{1}{(p_1^{j_1}\cdots p_n^{j_n})^k} = \prod_{i=1}^{n-1}\frac{1}{1-p_i^{-k}} \times \frac{p_n^{-k}}{1-p_n^{-k}} = \frac{1}{p_n^k}\frac{(p_n\#)^k}{J_k(p_n\#)} = \frac{(p_{n-1}\#)^k}{J_k(p_n\#)}

と変形できる。組み合わせれば所望の等式が得られる。 Q.E.D.

*1:空集合上の積は1と定めます。