孙智伟さんによる新作定理

$\pi(x)$ を $x$ 以下の素数の個数、 $p_n$ を $n$ 番目の素数とします。

$p_{13}=41, \ p_{14}=43, \ p_{15}=47$ なので

$\pi (5\times 9)=5+9$

$\pi(6\times 7)=6+7$

が成り立ちます。

また、 $8\times 998=7984, \ p_{1006}=7963, \ p_{1007}=7993$ より

$\pi(8\times 998)=8+998$

が成り立ちます。

こういったものは数遊びですが、次のようにまとめると数学の定理らしくなります：

定理１ $m$ を $5$ 以上の整数とする。このとき、或る正の整数 $n$ が存在して

$\pi(mn)=m+n$

が成り立つ。

この面白い定理は今年になってからRamanujan Journalに出版された孙智伟さんの新作論文において証明されています。実際には、先日紹介したGolombの定理
integers.hatenablog.com

を一般化するという方向性の研究を行うことによって定理１を導出します。

定理２ $m$ を正の整数とする。集合 $S_m$ を

$\displaystyle S_m := \left\{ a \in \mathbb{Z} \ \left| \ \pi(n)=\frac{n+a}{m}, \quad ({}^{\exists} n \in \mathbb{Z}_{> 1})\right\} \right.$

と定義し、整数 $S(m)$ を

$S(m):=\underset{k \in \mathbb{Z}_{> 0}}{\max} \{km-p_k\}$

によって定める。このとき、

$S_m=\{a \in \mathbb{Z} \mid a \leq S(m)\}$

が成り立つ。

$m \geq 2$ ならば $S(m) \geq m-p_1 \geq 0$ となるので、定理２を認めれば $0 \in S_m$ となってGolombの定理が導出されることがわかります。

証明. $a \in S_m$ を任意に取る。このとき、或る $n > 1$ が存在して

$\displaystyle k:= \pi (n) = \frac{n+a}{m}$

が成り立つ。 $n \geq p_k$ なので、

$a=km-n \leq km-p_k \leq S(m)$

となって片方の包含関係が成り立つことがわかった。

次に、 $a \leq S(m)$ なる整数を任意に取る。 $a \in S_m$ を示せばよい。ここで、非負整数 $k$ に対して $m$ 元集合 $I_k$ を

$I_k := \{km-p_{k+1}+1, \dots, km-p_{k+1}+m=(k+1)m-p_{k+1}\}$

と定義する。 $\displaystyle a \in \bigcup_{k=0}^{\infty}I_k$ であるか $\displaystyle a \not \in \bigcup_{k=0}^{\infty}I_k$ であるかによって、場合分けを行って証明する。

例えば素数定理によって $\displaystyle \lim_{k \to \infty}(km-p_k)=-\infty$ であり、定義からすぐわかるように

$\min I_{k+1} \leq \max I_k$

である。従って、数直線上で整数点のみを考えた際、 $I_k$ に対して $I_{k+1}$ が右へ移動する際は隙間は発生しない。 $I_k$ の移動でたどり着ける最大の整数は $S(m)$ であり、 $k$ が大きくなると $I_k$ はどんどん左の方へシフトしていく。左へ移動する際にはギャップがあっても構わない。

$\displaystyle a \not \in \bigcup_{k=0}^{\infty}I_k$ である場合を考える。このとき、上記考察より、或る $k$ が存在して $\max I_{k+1} < a < \min I_k$ が成立する。 $n:=(k+1)m-a$ とすれば

$p_{k+1}+m-1 < n < p_{k+2}-m$

が得られる。すると、

$\displaystyle \pi (n) = k+1 = \frac{n+a}{m}$

なので $a \in S_m$ である。

次に $\displaystyle a \in \bigcup_{k=0}^{\infty}I_k$ である場合を考えよう。このとき、或る $k$ が存在して、 $a \in I_k$ が成り立つ。すなわち、或る $1-p_{k+1} \leq r \leq m-p_{k+1}$ なる $r$ を用いて $a=km+r$ と書ける。

或る $n \geq p_{k+1}$ が存在して

$\displaystyle \frac{n+r}{\pi (n)-k}=m$ ー①

が成り立つことを示す。これを示すことができれば、

$\displaystyle \pi(n)=k+\frac{n+r}{m}=\frac{n+a}{m}$

となって、 $a \in S_m$ が結論づけられる。

$r=m-p_{k+1}$ のときは

$\displaystyle \frac{p_{k+1}+r}{\pi(p_{k+1})-k} = p_{k+1}+r=m$

なので、 $n=p_{k+1}$ に対して①が成立する。そこで、 $m > p_{k+1}+r$ と仮定する。 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)}{x}=0$ より

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n+r}{\pi(n)-k}=\infty$

であるため、

$\displaystyle \frac{n+r}{\pi(n)-k} \geq m$

を満たす $p_{k+1}$ 以上の整数 $n$ として、最小のものを取ることができる。 $n=p_{k+1}$ とすれば $p_{k+1}+r \geq m$ となって今の状況に反するため、 $n-1 \geq p_{k+1}$ が成り立つ。すると、 $n$ に対する最小性から

$\displaystyle \frac{n+r}{\pi(n)-k}\geq m > \frac{(n-1)+r}{\pi(n-1)-k}$ ー②

が成り立つ。 $s=n-1+r$ 、 $t=\pi(n-1)-k$ とおく。 $n-1 \geq p_{k+1}$ より $t \geq 1$ である。さて、

$\begin{align} s-t&=n-1+r-(\pi(n-1)-k) \\ &\geq n-1+(1-p_{k+1})-\pi(n-1)+k\\ &=(n-1-p_{k+1})-(\pi(n-1)-\pi(p_{k+1})) \\ &= \#\{p_{k+1} < d \leq n-1 \mid d\text{は合成数}\}\end{align}$

と評価できる。つまり、 $s-t$ はある集合の元の個数以上なので $s\geq t$ であることがわかった。

もし $n$ が素数であれば、 $\pi(n)=\pi(n-1)+1$ であるため、

$\displaystyle \frac{n+r}{\pi(n)-k}=\frac{s+1}{t+1} \leq \frac{s}{t} = \frac{n-1+r}{\pi(n-1)-k}$

となって、②に矛盾する。従って $n$ は合成数であり、②より

$n+r \geq m(\pi(n)-k)=m(\pi(n-1)-k) > n-1+r$

と評価できる。これは $n+r=m(\pi(n)-k)$ 、すなわち①が成立することを意味する。 Q.E.D.

こうして定理２が証明できましたが、気になるのは $S(m)$ がどのような数かということです。それについても例えば次のような定理が示されています：

定理３ $m$ を $3$ 以上の整数とし、 $S(m)$ を定理２で定義された整数とする。このとき、

$\displaystyle \frac{e^{m-1}}{m-1} < S(m) < (m-1)e^{m+1}$

が成り立つ。

$S(m)$ は素数の分布に関係する量ですが、証明にはRosser-Schoenfeld, Dusartの結果を用います。これらは素数定理のように緩いものではなく、 $p_n$ のしっかりとした不等式評価を与えるという研究で、コンピュータを用いて知られているRiemannゼータ関数の零点の情報を総動員して示すというタイプのもののため、とてもじゃないですがここでは証明をフォローすることはできません。彼らの結果は認めることにします。

証明. Dusartの結果により、 $k \geq 2$ ならば

$p_k \geq k(\log k+\log \log k-1)$

が成り立つので、 $k > e^{m+1}$ であれば

$km-p_k \leq k(m-\log (k\log k) + 1) < 0$

となる。従って、 $S(m)=km-p_k$ を実現する $k$ は $[e^{m+1}]$ 以下である。 $km-p_k < (m-1)k$ であることと合わせると

$S(m) < (m-1)e^{m+1}$

が得られた。あとは $\displaystyle j:=\left[ \frac{e^{m-1}}{m-1}\right] < S(m)$ を示せばよい。

$m=3$ ならば $j=3 < 3\times 3-p_3 \leq S(3)$ である。従って、 $m \geq 4$ とする。このとき、 $j \geq 6$ なので、Rosser-Schoenfeld-Dusartの結果により

$p_j \leq j(\log j+\log \log j)$

が成り立つ。 $j$ の定め方から

$\displaystyle \log j \leq \log \frac{e^{m-1}}{m-1}=m-1-\log (m-1) < m-1$

なので、

$\displaystyle jm-p_j \geq j(m-\log j)-j\log \log j > j(1+\log (m-1))-j\log (m-1)=j$

と評価できる。これは $j < S(m)$ を示している。 Q.E.D.

定理２と定理３を合わせることによって、その系として冒頭の定理１が証明されます：

定理１の証明. $m=5, 6$ は実例を冒頭に述べた。そこで、 $m \geq 7$ とする。このとき、

$\displaystyle m^2 < \frac{e^{m-1}}{m-1}$

が成り立つ。よって、定理２・定理３より或る $2$ 以上の整数 $N$ が存在して

$\displaystyle \pi(N) = \frac{N+m^2}{m}=\frac{N}{m}+m$

が成り立つ。この式から $N/m$ は正の整数であることが従う。よって、 $n=N/m$ とすれば

$\pi(mn)=n+m$

となる。 Q.E.D.

追記

定理２の証明は孙智伟さんによるものですが、数学者である山田氏から $a \leq S(m) \Longrightarrow a \in S_m$ はより簡単に導出できるとの指摘を受けたため、その証明を紹介します。

・ $a \leq S(m) \Longrightarrow a \in S_m$ のより簡単な証明
$J_k:=[km-p_{k+1}+1, km-p_k]\cap \mathbb{Z}$ とする。「或る $k$ が存在して $a \in J_k$ 」が成り立てば $a \in S_m$ である。実際、 $a \in J_k$ ならば