インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

等式の証明

この等式を証明しましょう。

integers.hatenablog.com

で紹介したJacobiの三重積公式

Jacobiの三重積
\tau, v \in \mathbb{C}, \mathrm{Im}(\tau ) > 0に対し、次の恒等式が成立する:
\begin{equation}\begin{split} &\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi \sqrt{-1}\tau n^2+2\pi \sqrt{-1}nv}\\ &= \prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{2n\pi \sqrt{-1}\tau})(1+e^{(2n-1)\pi \sqrt{-1}\tau +2\pi\sqrt{-1}v})(1+e^{(2n-1)\pi \sqrt{-1}\tau -2\pi \sqrt{-1}v}).\end{split}\end{equation}

においてx=e^{2\pi \sqrt{-1}\tau}, \tau=2\nuとすれば

\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)(1+x^n)(1+x^{n-1}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}}

が得られます。右辺は

\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}}+\sum_{n=-\infty}^{-1}x^{\frac{n^2+n}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}}+\sum_{m=1}^{\infty}x^{\frac{m^2-m}{2}} = 2\sum_{n=0}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}}

であり、左辺は

\begin{align} \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)(1+x^n)(1+x^{n-1}) &= (1+x^0)\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)(1+x^n)^2 \\ &= 2\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)(1+x^n)^2\end{align}

なので、

\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)(1+x^n)^2 = \sum_{n=0}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}}

がわかりました。そうして、

\begin{align}\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)(1+x^n)^2 &= \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^{2n})(1+x^n) = \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^{2n})(1+x^{2n})(1+x^{2n-1})\\ &= \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^{4n})\times \frac{1-x^{4n-2}}{1-x^{2n-1}} = \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1-x^{2n}}{1-x^{2n-1}}\end{align}

と変形できます。従って、|x| < 1ならば

\displaystyle  \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1-x^{2n}}{1-x^{2n-1}} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}}

が成立することがわかりました。


もっちょさんのtweet投稿時刻が23:57分ですが、1日で最も好きな時間です。