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数、特に整数に関する記事。

合成数を小さい順に足して出来るような冪乗数

オンライン整数列大辞典A227249A053768A053769を紹介します。

数列a(n)(A227249)は

「最初のm個の合成数の総和が冪乗数となる正整数mのうちn番目のもの」

と定義されます。

\begin{align}a(1)&= 1\\
a(2) &= 4\\
a(3) &= 6\\
a(4) &= 21\\
a(5) &= 80\\
a(6) &= 4151\\
a(7) &= 6982\\
a(8) &= 269563\\
a(9) &=  779693\\
a(10) &=  834365\\
a(11) &=  16176645\\
a(12) &=  19770092\\
a(13) &=  41049539\\
a(14) &=  228612936\\
a(15) &=  1950787140\\
a(16) &=  2404785364\\
a(17) &=  3095996836\\
a(18) &=  5236785750\end{align}


4=2^2

4+6+8+9=27=3^3

4+6+8+9+10+12=49=7^2

\begin{align}&4+6+8+9+10+12+14+15+16+18+20+21+22+24+25+26\\ &+27+28+30+32+33= 400=20^2\end{align}

\begin{align}&4+6+8+9+10+12+14+15+16+18+20+21+22+24+25+26\\
&+27+28+30+32+33+34+35+36+38+39+40+42+44+45+46\\
&+48+49+50+51+52+54+55+56+57+58+60+62+63+64+65\\
&+66+68+69+70+72+74+75+76+77+78+80+81+82+84+85\\
&+86+87+88+90+91+92+93+94+95+96+98+99+100+102\\
&+104+105+106+108+110=4624=68^2\end{align}


のようになっています。


数列b(n)(A053768)は

「最初のm個の合成数の総和が平方数となる正整数mのうちn番目のもの」

と定義されます。

\begin{align}b(1)&= 1\\
b(2) &= 6\\
b(3) &= 21\\
b(4) &= 80\\
b(5) &= 6982\\
b(6) &= 269563\\
b(7) &=  779693\\
b(8) &=  834365\\
b(9) &=  16176645\\
b(10) &=  19770092\\
b(11) &=  41049539\\
b(12) &=  228612936\\
b(13) &=  1950787140\\
b(14) &=  2404785364\\
b(15) &=  3095996836\\
b(16) &=  5236785750\\
b(17) &= 12482382942\end{align}


b(n)の定義において生じる平方数をc(n)(A053769)とすると

\begin{align}c(1)&= 4=2^2\\
c(2)&=49=7^2\\
c(3)&=400=20^2\\
c(4)&=4624=68^2\\
c(5)&=28185481=5309^2\\
c(6)&=39969605776=199924^2\\
c(7)&=331478850564=575742^2\\
c(8)&=379404257764=615958^2\\
c(9)&=140137415341225=11837965^2\\
c(10)&=209117137139689=14460883^2\\
c(11)&=898672389958225=29977865^2\\
c(12)&=27694219155303204=166415802^2\\
c(13)&=2003605052331579489=1415487567^2\\
c(14)&=3043021713613106404=1744425898^2\\
c(15)&=5040463493957084964=2245097658^2\\
c(16)&=14402336510464445764=3795041042^2\\
c(17)&=81662818789290090564=9036748242^2\end{align}


Question1 数列a(n)は無限列か?有限列か?


Question2 数列a(n)の定義において生じる合成数の総和の冪乗数が平方数ではないようなものがa(2)に対する3^3及びa(6)に対する6^9以外にあるか?


Question3 数列a(n)が素数になるのはa(9)= 779693以外にあるか?