ライトの素数表現関数

Millsの素数表現関数の論文が1947年に出て、それはInghamによる深い結果を用いるものでした：

integers.hatenablog.com

これを受けて、Inghamの結果を使う代わりに、よりお手軽なBertrandの仮説を使うだけでも同じようなことができるよとWrightが1951年に報告しました。

定理 (Wright) 正の数 $\alpha > 0$ が存在して、 $g_0:=\alpha, \$ $g_{n+1} := 2^{g_n}$ で定まる数列 $\{g_n\}$ について、 $[g_n]$ は任意の $n \geq 1$ に対して素数となる。 $[ \cdot ]$ はGauss記号。

証明. Bertrandの仮説より、 $P_1=2$ または $3$ として*1、

$\displaystyle 2^{P_n} < P_{n+1} < P_{n+1}+1 < 2^{P_n+1}$

を満たすような素数列 $\{P_n\}$ が存在する*2。これを固定して、 $u_n:=\log_2^{(n)}P_n, \ v_n:=\log_2^{(n)}(P_n+1)$ とおく。ここで、 $\log_2^{(n)}x$ は

$\displaystyle \log_2^{(n)}x := \underbrace{\log_2 \log_2 \cdots \log_2}_n \ x$

と定義する。すると、

$\displaystyle u_n < u_{n+1} < v_{n+1} < v_n$

が成り立つので、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}u_n=\lim_{n \to \infty}v_n =\alpha$ が存在する。定理の主張通りに $\{g_n\}$ を定義すれば、任意の $n \geq 1$ に対して

$u_n < \alpha < v_n$

が成り立つので、

$\displaystyle P_n < g_n < P_{n}+1$

となって、 $[g_n]=P_n$ は素数となる。 Q.E.D.

本日出たArXivの論文について

定理の $\alpha$ としては少なくとも $\{P_n\}$ の選択の仕方だけはあることが分かります*3。Wrightは論文中に $\alpha$ の例として

$\alpha = 1.9287800\cdots$

を上げており、 $P_1=3, \ P_2=13, \ P_3=16381$ であり、 $P_4$ は約5000桁であると書いています。推測ですが、 $2^3=8, \ 2^4=16, \$ $2^{13}=8192, \ 2^{14}=16384$ であることから、 $P_1=3$ からスタートした後は $2^{P_n+1}$ 以下の最大の素数を $P_{n+1}$ と定義していると思われます。Millsの定数が最小のものを取っていって定義されていたのとは対照的です。

ところで、本日"Wright's Fourth Prime"というタイトルのプレプリントが出て、Wrightの4番目の素数を求めたと主張しています。

ざっと眺めてみたのですが、まず、「Wrightは例として $c=1.9287800$ を与えた。」とありますが、これは良くない表現だと思います。Wrightの論文にはちゃんと「 $\cdots$ 」があります。

この $c$ に対する $g_4$ は合成数であるので、 $g_4$ より大きい最初の素数(4932桁)をコンピュータで計算しています。私の考えではWrightの4番目の素数は $2^{16382}$ 以下の最大の素数なので、彼らの求めた素数はWrightの4番目の素数とは呼べないのではないかと思います*4。この発見した素数を元に