次の定理はFermatが証明抜きで成立を言明し*1、Gaussが1796年に証明したものです。
三角数定理 任意の正整数は三つ以下の三角数の和として表すことができる。
三角数に を含めれば、任意の正整数は丁度三つの三角数の和として表すことができます。Gaussは日記に
ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ
と書き込んだそうです。三角数定理はGauss-Legendreの三平方の定理から即座に従います。
証明. を任意の正整数とする。Gauss-Legendreの三平方の定理から は三平方の和として表すことができるので、非負整数 が存在して
と書ける。左辺は奇数なので、は全て奇数であるか、一つだけが奇数である。しかし、
であるから後者のケースはあり得ない。よって、非負整数 が存在して
と書けるので、
であり、
が得られた。 Q.E.D.
*1:より一般の多角数定理について述べています。