インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

ガウスの三角数定理

次の定理はFermatが証明抜きで成立を言明し*1、Gaussが1796年に証明したものです。

三角数定理 任意の正整数は三つ以下の三角数の和として表すことができる。

三角数に T_0=0を含めれば、任意の正整数は丁度三つの三角数の和として表すことができます。Gaussは日記に

ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ

と書き込んだそうです。三角数定理はGauss-Legendreの三平方の定理から即座に従います。

integers.hatenablog.com

証明. mを任意の正整数とする。Gauss-Legendreの三平方の定理から 8m+3は三平方の和として表すことができるので、非負整数 A, B, Cが存在して

8m+3=A^2+B^2+C^2

と書ける。左辺は奇数なので、A, B, Cは全て奇数であるか、一つだけが奇数である。しかし、

A^2, B^2, C^2 \equiv 0, 1, 4 \pmod{8}

であるから後者のケースはあり得ない。よって、非負整数 a, b, cが存在して

A=2a+1, \ B=2b+1, \ C=2c+1

と書けるので、

\begin{align}8m+3&=(2a+1)^2+(2b+1)^2+(2c+1)^2\\ &= 4a(a+1)+1+4b(b+1)+1+4c(c+1)+1\end{align}

であり、

\displaystyle m=\frac{a(a+1)}{2}+\frac{b(b+1)}{2}+\frac{c(c+1)}{2} = T_a+T_b+T_c

が得られた。 Q.E.D.

*1:より一般の多角数定理について述べています。