インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

n次元球の体積

半径 rn次元球の体積を V_n(r)とします。

定理 \ \ \ \displaystyle V_n(r) = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n.

ここで、\Gamma (s)はガンマ関数です。

integers.hatenablog.com

補題1 V_n(r)r^nに比例する。

証明. nに関する帰納法で証明する。n=1のときは V_1(r)=2rなので成立する。n-1のときに主張が正しいと仮定する。

\displaystyle V_n(r) = \int_{-r}^rV_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2})dx

であり、帰納法の仮定より V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2}) = V_{n-1}(\sqrt{1-(x/r)^2})r^{n-1} なので、

\displaystyle V_n(r) = r^{n-1}\int_{-r}^rV_{n-1}(\sqrt{1-(x/r)^2})dx = r^n\int_{-1}^1V_{n-1}(\sqrt{1-t^2})dt = r^nV_n(1)

nのときも主張が成立することが示された。 Q.E.D.

a, b > 0に対してベータ関数を

\displaystyle \mathrm{B}(a, b):=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx

と定義します。次の公式は基本的なので演習問題とします。

補題2 以下の各公式が成立する。ただし、sは複素数、nは正整数、a, b > 0とする。

  1. \Gamma(s+1)=s\Gamma(s).
  2. \Gamma(1)=1, \ \Gamma(n) = (n-1)!.
  3. \displaystyle \Gamma \left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}, \ \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right) = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}.
  4. \displaystyle \mathrm{B}(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.

それでは、定理の証明を与えましょう。

定理の証明. 補題1より

\displaystyle \frac{V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2})}{V_{n-1}(r)} = \left(1-\frac{x^2}{r^2}\right)^{\frac{n-1}{2}}

が成り立つので、

\displaystyle V_n(r) = V_{n-1}(r)\int_{-r}^r\left(1-\frac{x^2}{r^2}\right)^{\frac{n-1}{2}}dx

を得る。被積分関数が偶関数であることに注意して、u=1-x^2/r^2と置換することにより

\begin{align} V_n(r) &= rV_{n-1}(r)\int_0^1u^{\frac{n-1}{2}}(1-u)^{-\frac{1}{2}}du=rV_{n-1}(r)B\left(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2}\right) \\ &= rV_{n-1}(r)\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}\end{align}

を得る。この式があれば数学的帰納法によって定理を証明できる。 Q.E.D.

定理から

\displaystyle V_{2m}(r) = \frac{\pi^m}{m!}r^{2m}, \quad V_{2m+1}(r) = \frac{2^{m+1}\pi^m}{(2m+1)!!}r^{2m+1}

と書けることがわかります。