n次元球の体積

半径 $r$ の $n$ 次元球の体積を $V_n(r)$ とします。

定理 $\ \ \ \displaystyle V_n(r) = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n.$

ここで、 $\Gamma (s)$ はガンマ関数です(階乗とガンマ関数 - INTEGERS)。

補題１ $V_n(r)$ は $r^n$ に比例する。

証明. $n$ に関する帰納法で証明する。 $n=1$ のときは $V_1(r)=2r$ なので成立する。 $n-1$ のときに主張が正しいと仮定する。

$\displaystyle V_n(r) = \int_{-r}^rV_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2})dx$

であり、帰納法の仮定より $V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2}) = V_{n-1}(\sqrt{1-(x/r)^2})r^{n-1}$ なので、

$\displaystyle V_n(r) = r^{n-1}\int_{-r}^rV_{n-1}(\sqrt{1-(x/r)^2})dx = r^n\int_{-1}^1V_{n-1}(\sqrt{1-t^2})dt = r^nV_n(1)$

と $n$ のときも主張が成立することが示された。 Q.E.D.

$a, b > 0$ に対してベータ関数を

$\displaystyle \mathrm{B}(a, b):=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$

と定義します。次の公式は基本的なので演習問題とします。

補題２ 以下の各公式が成立する。ただし、 $s$ は複素数、 $n$ は正整数、 $a, b > 0$ とする。

$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s).$
$\Gamma(1)=1, \ \Gamma(n) = (n-1)!.$
$\displaystyle \Gamma \left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}, \ \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right) = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}.$
$\displaystyle \mathrm{B}(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$

それでは、定理の証明を与えましょう。

定理の証明. 補題１より

$\displaystyle \frac{V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2})}{V_{n-1}(r)} = \left(1-\frac{x^2}{r^2}\right)^{\frac{n-1}{2}}$

が成り立つので、

$\displaystyle V_n(r) = V_{n-1}(r)\int_{-r}^r\left(1-\frac{x^2}{r^2}\right)^{\frac{n-1}{2}}dx$

を得る。被積分関数が偶関数であることに注意して、 $u=1-x^2/r^2$ と置換することにより

$\begin{align} V_n(r) &= rV_{n-1}(r)\int_0^1u^{\frac{n-1}{2}}(1-u)^{-\frac{1}{2}}du=rV_{n-1}(r)B\left(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2}\right) \\ &= rV_{n-1}(r)\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}\end{align}$