インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

三木の恒等式をリーマンゼータ値の関係式に書き直す

n2以上の整数とします。

関-Bernoulli数に関するEuler-Ramanujanの恒等式

\displaystyle -(2n+1)B_{2n} = \sum_{k=1}^{n-1}\binom{2n}{2k}B_{2k}B_{2n-2k}

をEulerの公式

\displaystyle \zeta (2n) = \frac{(-1)^{n-1}2^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}\pi^{2n}

を使ってRiemannゼータ関数の偶数値の関係式であるWilliamsの公式

\displaystyle \zeta (2n)=\frac{2}{2n+1}\sum_{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\zeta (2n-2k)

に書き換えることができました。

integers.hatenablog.com

同様にして、三木の恒等式

\displaystyle 2H_{2n}\frac{B_{2n}}{2n} = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{B_{2n}}{2n}\frac{B_{2n-2k}}{2n-2k}- \sum_{k=1}^{n-1}\binom{2n}{2k}\frac{B_{2n}}{2n}\frac{B_{2n-2k}}{2n-2k}

をEulerの公式で書き換えると

\displaystyle \zeta(2n) = \frac{2n}{H_{2n}}\Biggl(\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\zeta(2k)}{2k}\frac{\zeta(2n-2k)}{2n-2k}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\binom{2n}{2k}}\frac{\zeta(2k)}{2k}\frac{\zeta(2n-2k)}{2n-2k}\Biggr)

という関係式になります。どう表示するのがセンスが良いのか分かりませんが、\zeta_{/}(s):=\zeta(s)/sと定義すれば

\displaystyle \zeta_{/}(2n) = \frac{1}{H_{2n}}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\binom{2n}{2k}-1}{\binom{2n}{2k}}\zeta_{/}(2k)\zeta_{/}(2n-2k)

と表すこともできます。

例えば、n=4のときを考えると、Williamの公式からは

9\zeta(8)=4\zeta(2)\zeta(6)+2\zeta(4)^2

が言えて、今回の公式からは

761\zeta(8)=360\zeta(2)\zeta(6)+138\zeta(4)^2

が言えます。

どうでもよい蘊蓄ですが、761は素数で、円周率の十進法表記における小数点以下761個の数字を終えた第762位より9が6連続で並んでおり、Feynman pointと呼ばれています。

\begin{align}\pi = &3.14159265358979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 59\\
&23078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 093844\\
&6095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489\\
& 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564\\
&856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 06315588\\
&17 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 13\\
&84146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 310511\\
&8548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362\\
& 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931\\
&767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 75778960\\
&91 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 42\\
&01995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4\color{red}{999999}\cdots\end{align}