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数、特に整数に関する記事。

Brocard-Ramanujan方程式

方程式

n!+1=m^2

の正整数解は

\displaystyle 4!+1 = 5^2, \quad 5!+1=11^2, \quad 7!+1 = 71^2

しか知られていません。1876年及び1885年にBrocardが、1913年にRamanujanがこの方程式を扱っています。Erdősはこれら以外に解は存在しないと予想しているそうです。

定理 (Overholt, 1993) ABC予想が正しいと仮定する。このとき、Brocard-Ramanujan方程式は正整数解を高々有限個しか持たない。

証明. n \geq 4とし、n!+1=mであるとする。このとき、mは奇数なので、m=2k+1とおくと、

n!= 4k(k+1).

\left(\frac{n}{e}\right)^n \leq \frac{n!}{4}が成り立つ*1

Chebyshevの定理より、或る定数c > 0が存在して

\displaystyle \prod_{p \leq n}p \leq e^{cn}

が成り立つ(pは素数)。

\varepsilon > 0を一つとって固定する。このとき、C_{\varepsilon} > 0が存在して、任意のABCトリプル(a, b, c)に対して

\displaystyle abc \leq C_{\varepsilon}\mathrm{rad}(abc)^{\eta}

が成り立つ。ただし、\eta:=3(1+\varepsilon)と置いた。(1, k, k+1)はABCトリプルなので、

\displaystyle k(k+1) \leq C_{\varepsilon}\mathrm{rad}(k(k+1) )^{\eta}

が成り立つ。

よって、

\displaystyle \left(\frac{n}{e}\right)^n \leq \frac{n!}{4} \leq C_{\varepsilon}\mathrm{rad}\left(\frac{n!}{4}\right)^{\eta} = C_{\varepsilon}\Bigl(\prod_{p \leq n}p\Bigr)^{\eta} \leq C_{\varepsilon}e^{c\eta n} \leq e^{c_{\varepsilon}\eta n}

が得られる。ここで、c_{\varepsilon} > 0は或る\varepsilonのみに依存する定数。つまり、

n \leq e^{c_{\varepsilon}\eta+1}

となって、nは有界であることが示された。 Q.E.D.

Overholtの証明をeffectiveにしてみましょう。ABC予想の記事に書いたように、次の予想は数値的には成立すると思われています。

強い予想 任意のABCトリプル(a, b, c)に対して
c < \mathrm{rad}(abc)^2.

この予想を仮定すると、Overholtの定理の証明の設定で

k(k+1) < \mathrm{rad}(k(k+1) )^4

が成り立ちます。また、Rosser-Schoenfeldが証明したx > 0で成立する不等式

\vartheta(x) < 1.01624x

を使えば、Overholtの計算は

\displaystyle \left(\frac{n}{e}\right)^n \leq e^{4\times 1.01624n}

となって、

n \leq e^{5.06496}=158.374\dots

が得られます。Berndt-Galwayによって、n \leq 10^9までErdősの予想が正しいことが確認されているとのことですが、この予想の成立は非常に確からしいことがわかりました。

*1:e \geq (1+\frac{1}{n})^nより数学的帰納法で証明できる。