2017-09-22

タオのセメレディ論文の§10を読む(その一)

Taoの論文の最終節: §10 Recurrence for almost periodic functions に入ります。Szemerédiの定理の証明で残っているのは

(再掲) 一様概周期関数の回帰性 (Theorem 3.3) $d \geq 0, k\geq 1$ を整数とする。非負値有界関数 $f_{U^{\perp}}, f_{UAP}$ は或る $0 < \delta \leq 1, M > 0$ に対して

1. $\displaystyle \left\| f_{U^{\perp}}-f_{UAP} \right\|_{L^2} \leq \frac{\delta^2}{1024k},\quad$ 2. $\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}} \geq \delta,\quad$ 3. $\left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^d} < M$

を満たすと仮定する。このとき、任意の $\mu \in \mathbb{Z}_N$ 及び正整数 $N_1$ に対して

$\displaystyle \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{d, k, \delta, M} 1$

が成り立つ。

ですが、§9でKeyとなる命題(Prop 9.1)を証明し、Thm 3.3の $d=0, 1$ の場合の証明を済ませました。 $d \geq 2$ の場合はProp 9.1を即座には適用することができないため、この節においてProp 9.1を上手く適用できるように工夫して証明されます。

まず、Thm 3.3は $\mu = 1$ の場合に示せば十分であることを確認します。理由: $\mu =0$ のときはHölderの不等式より

$\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}}^k \geq \left( \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}}\right)^k \geq \delta^k$

となって主張が成立する。 $\mu \ne 0$ のときは、 $L^2$ -ノルム、積分、一様概周期性ノルムがいずれもスケール不変であることに注意すれば $f_{U^{\perp}} \mapsto (f_{U^{\perp}})_{\mu^{-1}}$ , $f_{UAP}\mapsto (f_{UAP})_{\mu^{-1}}$ と置き換えることができ、

$\displaystyle T^{jr}(f_{U^{\perp}})_{\mu^{-1}}(x) = f_{U^{\perp}}(\mu(x+jr))=T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}(\mu x)$

であることと、 $\mu$ 倍写像の全単射性から $\mu = 1$ の場合に帰着できることがわかる。

Thm 3.3を $d$ に関する帰納法で証明しますが、 $d-1$ のときに成立すると仮定して $d$ の場合を証明するのに§7のエネルギー増加法を利用します。従って、実際に証明すべきことは次の命題に集約されます。ただし、次の略記ルールを適用します：

略記以下、パラメータ $d, k, \delta, M$ については依存していもそのことを明記しない。このルールはLandau(Vinogradov)の記号における定数についても同様である。

命題 (回帰定理ダイコトミー) $d$ を $2$ 以上の整数とし、 $d-1$ に対してはThm 3.3が証明されていると仮定する。非負値有界関数 $f_{U^{\perp}}, f_{UAP}$ は或る $0 < \delta \leq 1, M > 0$ に対して

を満たすと仮定する。 $\boldsymbol{f} \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})^2$ を

$\displaystyle \boldsymbol{f} = (f_{U^{\perp}}, \left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|)$

とする。また、 $X, \ X' \geq 0$ は整数で、 $\mathcal{B}$ (resp. $\mathcal{B}'$ )をそれぞれ複雑度が $X$ (resp. $X'$ )以下であるような $(d-1)$ -コンパクトな $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族であって $\mathcal{B} \subset \mathcal{B}'$ 及び $\tau \ll 1$ に対するエネルギーギャップ条件

$\displaystyle \mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}')-\mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}) \leq \tau^2$

を満たすようなものとする。このとき、次の少なくとも一方を満たす：

(成功): 任意の整数 $N_1\geq 0$ に対して

$\displaystyle \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\tau, X} 1$

が成り立つ。

(エネルギー増加): 或る複雑度が $O_{\tau, X, X'}(1)$ の $(d-1)$ -コンパクトな $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}'' \supset \mathcal{B}'$ が存在して、エネルギー増加

$\displaystyle \mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}'')-\mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}') \gg_{\tau, X} 1$

が生じる。

回帰定理ダイコトミー $\Longrightarrow$ Thm 3.3の証明

回帰定理ダイコトミーが証明されれば(直後に少し詳しく解説するが)、§7のエネルギー増加法によって帰納法のステップ $d-1 \mapsto d$ の証明が完了し( $\mu=1$ の場合を示せば一般でも成り立つことは既にみた)、§9で $d=0, 1$ の場合を証明していることと合わせて、Thm 3.3が証明されたことになる。エネルギー増加法の適用については、§7補題の $P(M)$ のパラメータ $M$ とThm 3.3に現れる $M$ は異なることに注意*1。そこで、 $M \mapsto C$ として、 $P(C)$ はここでは不等式

$\displaystyle C\left( \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_{U^{\perp}}\right)\right) > 1$

が成り立つことである。 $\boldsymbol{f}$ の各成分が有界関数である必要があるが、それは $f_{U^{\perp}}, \ f_{UAP}$ が非負値有界であることから従う。§8で既に言及したように各部分で依存するパラメータを増やしても帰結が同じパラメータに依存するようになるだけなので、 $d, k, \delta, M$ 依存を省略していることから( $\tau$ についても実際は $\tau=O_{d, k, \delta, M}(1)$ であり、§7の補題における $m$ は $m=2$ )、エネルギー増加法による帰結は

$\displaystyle \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{d, k, \delta, M} 1$

となる。 Q.E.D.

以下、途中で幾つかの補題を証明する、入れ子方式で証明していきます。(その一)ではProp 9.1を適用するところまで書いて、(その二)で完結させます。

回帰定理ダイコトミーの証明

$\left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^d} < M$ であることから、空でない有限集合 $H$ 、 $n \in \mathbb{Z}_N$ , $h \in H$ 毎に定義される有界関数 $c_{n, h} \in B(UAP^{d-1})$ 、 $h \in H$ 毎に定義される有界関数 $g_h$ が存在して、任意の $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle T^nf_{UAP}=M\mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}g_h)$ −①

が成り立つ。 $N_0=N_0(\tau, X)$ を $\tau, X$ のみに依存して定まる或る整数とする(取り方は最後に説明する)。

$N_1 \leq N_0$ のときは

$\displaystyle \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\tau, X} 1$

が成り立つ。理由: $f_{U^{\perp}}$ が非負値なので、 $r=0$ の部分をみて

$\displaystyle (N_0+1) \left( \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_{U^{\perp}}\right)\right) \geq (N_1+1) \left( \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_{U^{\perp}}\right)\right) \geq \int_{\mathbb{Z}_N}\left(f_{U^{\perp}}\right)^k$

と評価でき、Hölderの不等式より

$\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left(f_{U^{\perp}}\right)^k \geq \left( \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}}\right)^k \geq \delta^k$

なので、

$\displaystyle \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{N_0} 1$

を得る。つまり、(成功)となるので、以下、 $N_1 > N_0$ の場合を考える。このとき、

$\displaystyle \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{N_0}\mathbb{E}_{1 \leq \mu \leq \frac{N_1}{N_0}}\left( \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \right)$ −(⭐︎)

が成り立つ。理由: 各 $1 \leq r \leq N_0$ に対して、 $1 \leq r' \leq N_0$ 及び $1 \leq \mu \leq N_1/N_0$ を用いて $r=\mu r'$ と表す方法は高々 $O_{N_0}(1)$ 通りなので

$\begin{align} &O_{N_0}(1)(N_1+1)\left( \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_{U^{\perp}}\right)\right) \\ &\geq O_{N_0}(1)N_1\left( \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_1} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_{U^{\perp}}\right)\right) \\ &\geq \left[ \frac{N_1}{N_0}\right] \times \left[ N_0 \right] \left( \mathbb{E}_{1 \leq \mu \leq \frac{N_1}{N_0}}\left( \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \right) \right)\end{align}$

が成り立つ。両辺を $N_1$ で割ることにより

$\displaystyle O_{N_0}(1)\left( \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_{U^{\perp}}\right) \right) \geq \mathbb{E}_{1 \leq \mu \leq \frac{N_1}{N_0}}\left( \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \right)$

を得る。そこで、 $1 \leq \mu \leq N_1/N_0$ を固定して

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right)$

について考察する。

補題 (有限ランク近似, Lemma 10.2) $h_1, \dots, h_{N_0^4} \in H$ が存在して*2、任意の $0 \leq m \leq (k-1)N_0$ に対して

$\displaystyle \left\| \mathbb{E}_{h \in H}(c_{\mu m, h}g_h)-\mathbb{E}_{1 \leq j \leq N_0^4}(c_{\mu m, h_j}g_{h_j}) \right\|_{L^2} \ll N_0^{-1}$

が成り立つ。

補題の証明

$0 \leq m \leq (k-1)N_0$ を固定し、 $D:=N_0^4$ , $G_h=G_h(m):=c_{\mu m, h}g_h \ (h \in H)$ , $F=F(m):=\mathbb{E}_{h \in H}(G_h)$ とする。以下、 $\boldsymbol{h}=(h_1, \dots, h_D)$ という略記を用いる。

$\displaystyle \mathbb{P}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left(\left\|F-\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(G_{h_j})\right\|_{L^2} \geq \frac{\sqrt{kN_0}}{N_0^2}\right) \leq \frac{1}{kN_0}$ –②

を示せばよい。理由: 集合 $\mathcal{F}_m$ を

$\displaystyle \mathcal{F}_m := \left\{ \boldsymbol{h} \in H^D \left| \left\|F(m)-\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(G_{h_j}(m))\right\|_{L^2} < \frac{\sqrt{kN_0}}{N_0^2}\right\}\right.$ ,

$\mathcal{G}_m$ を

$\displaystyle \mathcal{G}_m := \left\{ \boldsymbol{h} \in H^D \left| \left\|F(m)-\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(G_{h_j}(m))\right\|_{L^2} \geq \frac{\sqrt{kN_0}}{N_0^2}\right\}\right.$

とする。

$\displaystyle \mathbb{P}_{H^D}\left( \bigcap_{m=0}^{(k-1)N_0}\mathcal{F}_m\right)= 1 - \mathbb{P}_{H^D}\left(\bigcup_{m=0}^{(k-1)N_0}\mathcal{G}_m\right)$

であり

$\displaystyle \mathbb{P}_{H^D}\left( \bigcup_{m=0}^{(k-1)N_0}\mathcal{G}_m\right) \leq \sum_{m=0}^{(k-1)N_0}\mathbb{P}_{H^D}(\mathcal{G}_m)$

なので、不等式②が示されれば

$\displaystyle \mathbb{P}_{H^D}\left( \bigcap_{m=0}^{(k-1)N_0}\mathcal{F}_m\right) \geq 1-\frac{(k-1)N_0+1}{kN_0} > 0$

となって、 $\displaystyle \bigcap_{m=0}^{(k-1)N_0}\mathcal{F}_m$ の元が存在することがわかる( $\displaystyle \sqrt{kN_0}/N_0^2 \ll N_0^{-1}$ に注意)。

不等式②を示すには

$\displaystyle \mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left( \left\|F-\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(G_{h_j})\right\|_{L^2}^2\right) \leq \frac{1}{D}$

を示せばよい。理由: Chebyshevの不等式*3より、この不等式が証明されれば

$\begin{align} &\mathbb{P}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left(\left\|F-\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(G_{h_j})\right\|_{L^2} \geq \frac{\sqrt{kN_0}}{N_0^2}\right) \\ &\leq \frac{1}{\frac{kN_0}{N_0^4}}\times \mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left( \left\|F-\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(G_{h_j})\right\|_{L^2}^2\right) \leq \frac{D}{kN_0}\times \frac{1}{D} = \frac{1}{kN_0}\end{align}$

と不等式②が得られる。

まず、 $L^2$ -ノルムの二乗を展開して

$\displaystyle \mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left( \left\|F-\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(G_{h_j})\right\|_{L^2}^2\right) = \mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\left\{\left|F\right|^2-2\mathrm{Re}\left( \mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(\overline{F}G_{h_j})\right)+\left|\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(G_{h_j})\right|^2\right\} \right).$

$\displaystyle \left|\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(G_{h_j})\right|^2 = \left(\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(G_{h_j})\right) \left(\mathbb{E}_{1 \leq j' \leq D}(\overline{G_{h_j'}})\right)=\mathbb{E}_{1 \leq j, j' \leq D}\left(\overline{G_{h_{j'}}}G_{h_j}\right)$

に注意して、和の順序を入れ替えると

$\begin{align} &\mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left( \left\|F-\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(G_{h_j})\right\|_{L^2}^2\right) \\ &= \left\|F\right\|_{L^2}^2-2\mathrm{Re}\left(\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\overline{F}\mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H}(G_{h_j})\right)\right) + \mathbb{E}_{1 \leq j, j' \leq D}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H}\left(\overline{G_{h_{j'}}}G_{h_j}\right)\right)\end{align}$

と計算できる。ここで、各 $1 \leq j \leq D$ に対して

$\mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}(G_{h_j}) = \mathbb{E}_{h \in H}(G_h) = F$

である。理由:

$\displaystyle \mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H}(G_{h_j}) = \sum_{(h_1, \dots, h_D) \in H^D}\frac{G_{h_j}}{(\#H)^D} = \sum_{h \in H}\frac{G_h}{(\#H)^D}\sum_{(h_1, \dots, h_{j-1}, h, h_{j+1}, \dots, h_D) \in H^D}1=\sum_{h \in H}\frac{G_h}{\#H}= F$

と計算される。

また、 $1 \leq j \neq j' \leq D$ に対して

$\mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left(\overline{G_{h_{j'}}}G_{h_j}\right) = \left|F\right|^2$

である。理由: ( $j < j'$ として記述する。)

$\begin{align} \mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left(\overline{G_{h_{j'}}}G_{h_j}\right) &= \sum_{(h_1, \dots, h_D) \in H^D}\frac{\overline{G_{h_{j'}}}G_{h_j}}{(\#H)^D} = \sum_{h, h' \in H}\frac{\overline{G_{h'}}G_h}{(\#H)^D}\sum_{(h_1, \dots, h_{j-1}, h, h_{j+1}, \dots, h_{j'-1}, h', h_{j'+1}, \dots, h_D)\in H^D}1 \\ &= \sum_{h, h' \in H}\frac{\overline{G_{h'}}G_h}{(\#H)^2} = \bigl(\mathbb{E}_{h' \in H}(\overline{G_{h'}})\bigr)\bigl( \mathbb{E}_{h \in H}(G_h)\bigr) = \left|F\right|^2\end{align}$

と計算される。従って、

$\begin{align}&\mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left( \left\|F-\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(G_{h_j})\right\|_{L^2}^2\right) \\ &= \left\|F\right\|_{L^2}^2-2\left\|F\right\|_{L^2}^2+\mathbb{E}_{1 \leq j, j' \leq D}\left( \delta_{j, j'}\int_{\mathbb{Z}_N}\mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left(\overline{G_{h_{j'}}}G_{h_j}\right)+(1-\delta_{j, j'})\int_{\mathbb{Z}_N}\left|F\right|^2\right) \\ &= \mathbb{E}_{1 \leq j, j' \leq D}\left( \delta_{j, j'}\int_{\mathbb{Z}_N}\left(\mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left(\overline{G_{h_{j'}}}G_{h_j}\right)-\left|F\right|^2\right)\right)\end{align}$

を得る( $\delta_{j, j'}$ はKroneckerのデルタ)。 $G_h$ が有界関数であることに注意すれば、 $j=j'$ のとき

$\displaystyle \mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left(\overline{G_{h_{j'}}}G_{h_j}\right)-\left|F\right|^2 \leq \mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left(\left|G_{h_j}\right|^2\right) \leq 1$

と評価できるので、

$\displaystyle \mathbb{E}_{\boldsymbol{h} \in H^D}\left( \left\|F-\mathbb{E}_{1 \leq j \leq D}(G_{h_j})\right\|_{L^2}^2\right) \leq \mathbb{E}_{1 \leq j, j' \leq D}(\delta_{j, j'}) = \frac{1}{D}$

が示された。補題の証明終了

補題によって存在する $h_1, \dots, h_{N_0^4}$ をとって固定する。すると、①と補題より任意の $0 \leq m \leq (k-1)N_0$ に対して

$\displaystyle \left\|T^{\mu m}f_{UAP}-M\mathbb{E}_{1 \leq j \leq N_0^4}(c_{\mu m, h_j}g_{h_j})\right\|_{L^2} \ll N_0^{-1}$ −③

が成り立つ。ここで、 $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}'' \supset \mathcal{B}'$ を

$\displaystyle \mathcal{B}'' := \left(\bigvee_{-(k-1)N_0 \leq m \leq (k-1)N_0}T^{\mu m}\mathcal{B}'\right) \vee \left( \bigvee_{0 \leq m \leq (k-1)N_0, \ 1 \leq j \leq N_0^4}\mathcal{B}_{N_0^{-1}}(c_{\mu m, h_j})\right)$

と定義する。このとき、 $\mathcal{B}''$ は $(d-1)$ -コンパクトな $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族であり、複雑度は高々 $O_{N_0, X'}(1)=O_{\tau, X, X'}(1)$ である。理由:

$c_{\mu m, h_j} \in B(UAP^{d-1})$ であること
$\mathcal{B}'$ が $(d-1)$ -コンパクトな $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族で複雑度が高々 $X'$ であること
§6(その一)で述べた $\sigma$ -加法族のシフトに関する基本性質
§6(その二)で $T^n\mathcal{B}_{\varepsilon}(G)=\mathcal{B}_{\varepsilon}(T^nG)$ と取っていたこと

に注意すれば、複雑度の定義よりわかる。

§6(その二)の命題より、 $0 \leq m \leq (k-1)N_0$ , $1 \leq j \leq N_0^4$ に対して

$\displaystyle \left\|c_{\mu m, h_j}-\left.\mathbb{E}(c_{\mu m, h_j}\right|\mathcal{B}'')\right\|_{L^{\infty}} \ll N_0^{-1}$

が成り立つ。よって、 $\left\| \cdot \right\|_{L^2} \leq \left\| \cdot \right\|_{L^{\infty}}$ 、 $L^{\infty}$ -ノルムの三角不等式、 $g_{h_j}$ の有界性などより

$\displaystyle \left\|M\mathbb{E}_{1 \leq j \leq N_0^4}(c_{\mu m, h_j}g_{h_j})-M\mathbb{E}_{1 \leq j \leq N_0^4}\left( \left.\mathbb{E}(c_{\mu m, h_j}\right|\mathcal{B}'')g_{h_j}\right) \right\|_{L^2} \ll N_0^{-1}$

を得る。③と合わせて、三角不等式を用いると

$\displaystyle \left\|T^{\mu m}f_{UAP}-F_{\mu m}\right\|_{L^2} \ll N_0^{-1}$ −④

が任意の $0 \leq m \leq (k-1)N_0$ で成立する。ここで、 $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle F_n := M\mathbb{E}_{1 \leq j \leq N_0^4}\left(\left.\mathbb{E}(c_{n, h_j}\right|\mathcal{B}'')g_{h_j}\right)$

としている。 $\left.\mathbb{E}(c_{n, h_j}\right|\mathcal{B}'')$ は有界な $\mathcal{B}''$ -可測関数なので§9の命題(Prop 9.1)を適用することができ、或る整数 $k_{\ast}=O(1)$ が存在して

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg \mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left( \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left( \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}\right) \right)$ −⑤

が成り立つ。ただし、 $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle E_{n} = E_{n}(k, \delta, \mathcal{B}'') =\left\{x \in \mathbb{Z}_N\left|\left.\mathbb{E}(T^{n}f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}'')(x) \geq \frac{\delta}{2}, \ \left. \mathbb{E}(\left|T^{n}f_{U^{\perp}}-F_{n}\right| \right| \mathcal{B}'')(x) \leq \frac{\delta}{8k}\right\}\right.$

であり、 $N_0$ は $N_0\geq k_{\ast}$ であるようにとっておく。

(その二)では⑤の右辺を上手く評価して帰納法の仮定を適用できるようにする。

*1:Thm 3.3の $M$ は構造定理由来の $M$ で、構造定理ダイコトミーの $M$ とは両立している。

*2:等しいものがあってもよい。また、 $\mu$ には依存する。

*3:補足：

Chebyshevの不等式 $(\Omega, \Sigma, \mu)$ が測度空間で、 $A \in \Sigma$ , $\ f\colon A$ -可測関数、 $a > 0$ とすると、

$\displaystyle \mu \left(\left\{ x \in A \left|\left|f(x)\right| \geq a \right\}\right. \right) \leq \frac{1}{a^2}\int_{A}\left|f\right|^2d\mu$

が成り立つ。

証明. Markovの不等式より、

$\displaystyle \mu \left(\left\{ x \in A \left|\left|f(x)\right| \geq a \right\}\right. \right) = \mu \left(\left\{ x \in A \left|\left|f(x)\right|^2 \geq a^2 \right\}\right. \right) \leq \frac{1}{a^2}\int_{A}\left|f\right|^2d\mu$