2017-09-22

タオのセメレディ論文の§10を読む(その二)

この記事でSzemerédiの定理の証明が完結します。

§6(その一)の補題３直後の式、Cauchy-Schwarzの不等式、前記事④より、任意の $0 \leq m \leq (k-1)N_0$ に対して

$\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left.\mathbb{E}\left(\left|T^{\mu m}f_{UAP}-F_{\mu m}\right| \right| \mathcal{B}''\right) = \int_{\mathbb{Z}_N}\left|T^{\mu m}f_{UAP}-F_{\mu m}\right| \leq \left\|T^{\mu m}f_{UAP}-F_{\mu m}\right\|_{L^2} \ll N_0^{-1}$

が成り立つ。従って、Markovの不等式より

$\displaystyle \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\left.\mathbb{E}\left(\left|T^{\mu m}f_{UAP}-F_{\mu m}\right|\right|\mathcal{B}''\right) \geq \frac{\delta}{16k} \right) \leq \frac{16k}{\delta}\int_{\mathbb{Z}_N}\left.\mathbb{E}\left(\left|T^{\mu m}f_{UAP}-F_{\mu m}\right|\right|\mathcal{B}''\right) \ll N_0^{-1}$ −①

である。 $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して $E_n'$ を

$\displaystyle E_n':=\left\{x \in \mathbb{Z}_N\left|\left.\mathbb{E}(T^nf_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}'')(x) \geq \frac{\delta}{2}, \ \left. \mathbb{E}(\left|T^nf_{U^{\perp}}-T^nf_{UAP}\right| \right| \mathcal{B}'')(x) \leq \frac{\delta}{16k}\right\}\right.$

と定義する。このとき、各 $1 \leq \lambda \leq N_0/k_{\ast}$ に対して

$\displaystyle \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left( \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}\right) \geq \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left( \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}'\right)-O(N_0^{-1})$ −②

が成り立つ。理由: $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して $D_n$ を

$\displaystyle D_n:=\left\{x \in \mathbb{Z}_N \left| \left.\mathbb{E}\left(\left|T^nf_{UAP}-F_n\right| \right|\mathcal{B}''\right)(x) \geq \frac{\delta}{16k}\right\}\right.$

と定める。すると、集合の包含関係

$\displaystyle \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}' \setminus \bigcup_{m=1}^{k_{\ast}}D_{\mu \lambda m} \subset \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}$

が成り立つ。理由: $x \in \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}' \setminus \bigcup_{m=1}^{k_{\ast}}D_{\mu \lambda m}$ であれば、任意の $1 \leq m \leq k_{\ast}$ に対して

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left|T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}}-T^{\mu \lambda m}f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)(x) \leq \frac{\delta}{16k}$

及び

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left|T^{\mu \lambda m}f_{UAP}-F_{\mu \lambda m}\right|\right|\mathcal{B}''\right)(x) < \frac{\delta}{16k}$

が成り立つので、三角不等式より

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left|T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}}-F_{\mu \lambda m}\right|\right|\mathcal{B}''\right)(x) < \frac{\delta}{8k}$

となって、 $x \in \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}$ がわかる。従って、

$\displaystyle \#\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m} \right) \geq \#\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}'\right) - \sum_{m=1}^{k_{\ast}}\#D_{\mu \lambda m}$

と評価できる。 $1 \leq \lambda m \leq N_0$ なので*1、①より

$\displaystyle \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}(D_{\mu \lambda m}) \ll N_0^{-1}$

であり、 $k_{\ast}=O(1)$ であることから所望の不等式を得る。

補題１ (エフェクティブなシフト不変性, Lemma 10.3)
$-(k-1)N_0 \leq m \leq (k-1)N_0$ を満たす或る $m$ が存在して

$\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}\left(T^{\mu m}f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-T^{\mu m}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)\right\|_{L^2} \geq N_0^{-1}$

または

$\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}\left(T^{\mu m}\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)-T^{\mu m}\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)\right\|_{L^2} \geq N_0^{-1}$

が成り立てば、ダイコトミーの(エネルギー増加)が生じる。

証明. §6(その一)の補題６より

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(T^{\mu m}f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right) = T^{\mu m}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|T^{-\mu m}\mathcal{B}''\right)$

が成り立つので、

$\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}\left(T^{\mu m}f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-T^{\mu m}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)\right\|_{L^2} \geq N_0^{-1}$

であれば、 $\left\| \cdot \right\|_{L^2}$ のシフト不変性*2から

$\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|T^{-\mu m}\mathcal{B}''\right)-\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)\right\|_{L^2} \geq N_0^{-1}$

が成り立つ。もし、この状況で

$\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|T^{-\mu m}\mathcal{B}''\right)-\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}'\right)\right\|_{L^2} < \frac{1}{2}N_0^{-1}$

かつ

$\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}'\right)\right\|_{L^2} < \frac{1}{2}N_0^{-1}$

であれば、三角不等式によって

$\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|T^{-\mu m}\mathcal{B}''\right)-\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)\right\|_{L^2} < N_0^{-1}$

となって矛盾する。従って、

$\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|T^{-\mu m}\mathcal{B}''\right)-\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}'\right)\right\|_{L^2} \geq \frac{1}{2}N_0^{-1}$ −③

または

$\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}'\right)\right\|_{L^2} \geq \frac{1}{2}N_0^{-1}$ −④

である。④が成り立つと仮定しよう。§7のエネルギーギャップ公式より

$\displaystyle \mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}'')-\mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}') \geq \left\|\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}'\right)\right\|_{L^2}^2$

なので、 $N_0=O_{\tau, X}(1)$ であることから(エネルギー増加) $\mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}'')-\mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}') \gg_{\tau, X} 1$ が生じている。

③が成り立っている場合は $\mathcal{B}''$ の代わりに $T^{-\mu m}\mathcal{B}''$ を考えれば、 $T^{-\mu m}\mathcal{B}''\supset \mathcal{B}'$ は $\mathcal{B}''$ と同じ複雑度を持つ $(d-1)$ -コンパクトな $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族なので、所望の(エネルギー増加) $\mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(T^{-\mu m}\mathcal{B}'')-\mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}') \gg_{\tau, X} 1$ が生じている。

が成り立っている場合は、上記の議論を $f_{U^{\perp}} \mapsto \left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|$ として適用すればよい。補題の証明終了

補題１より $-(k-1)N_0 \leq m \leq (k-1)N_0$ に対して

$\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}\left(T^{\mu m}f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-T^{\mu m}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)\right\|_{L^2} < N_0^{-1}$

かつ

であると仮定してよい。このとき、Cauchy-Schwarzの不等式によって

$\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left|\left.\mathbb{E}\left(T^{\mu m}f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-T^{\mu m}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)\right| \leq \left\|\left.\mathbb{E}\left(T^{\mu m}f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-T^{\mu m}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)\right\|_{L^2} < N_0^{-1}$

なので、Markovの不等式によって

$\displaystyle \mathbb{P}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left(\left|\left.\mathbb{E}\left(T^{\mu m}f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-T^{\mu m}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)\right|(x) \geq \frac{\delta}{4} \right) \ll N_0^{-1}$ −⑤

が成り立つ。同様にして、

$\displaystyle \mathbb{P}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left(\left|\left.\mathbb{E}\left(\left|T^{\mu m}f_{U^{\perp}}-T^{\mu m}f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)-T^{\mu m}\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)\right|(x)\geq \frac{\delta}{32k}\right) \ll N_0^{-1}$ −⑥.

ここで、 $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して $E_n''$ を

$\displaystyle E_n'':=\left\{x \in \mathbb{Z}_N\left|T^n\left.\mathbb{E}(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}'')(x) \geq \frac{3\delta}{4}, \ T^n\left. \mathbb{E}(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right| \right| \mathcal{B}'')(x) \leq \frac{\delta}{32k}\right\}\right.$

と定義する。このとき、各 $1 \leq \lambda \leq N_0/k_{\ast}$ に対して

$\displaystyle \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}'\right) \geq \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}''\right)-O(N_0^{-1})$ −⑦

が成り立つ。理由: $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して $D_n', \ D_n''$ を

$\displaystyle D_n':=\left\{x \in \mathbb{Z}_N \left| \left|\left.\mathbb{E}\left(T^nf_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-T^n\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)\right|(x) \geq \frac{\delta}{4}\right\}\right.$ ,

$\displaystyle D_n'':=\left\{x \in \mathbb{Z}_N \left| \left|\left.\mathbb{E}\left(\left|T^nf_{U^{\perp}}-T^nf_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)-T^n\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)\right|(x) \geq \frac{\delta}{32k}\right\}\right.$

と定める。すると、集合の包含関係

$\displaystyle \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}'' \setminus \left\{\bigcup_{m=1}^{k_{\ast}}D_{\mu \lambda m}' \cup \bigcup_{m=1}^{k_{\ast}}D_{\mu \lambda m}''\right\} \subset \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}'$

が成り立つ。理由: $x \in \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}'' \setminus \left\{\bigcup_{m=1}^{k_{\ast}}D_{\mu \lambda m}' \cup \bigcup_{m=1}^{k_{\ast}}D_{\mu \lambda m}''\right\}$ であれば、任意の $1 \leq m \leq k_{\ast}$ に対して

$\displaystyle T^{\mu \lambda m}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)(x) \geq \frac{3\delta}{4}$

及び

$\displaystyle \left|\left.\mathbb{E}\left(T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-T^{\mu \lambda m}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)\right|(x) < \frac{\delta}{4}$

が成り立つので、三角不等式によって

$\begin{align} \left.\mathbb{E}\left(T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)(x) &= \left| T^{\mu \lambda m}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)(x) + \left(\left.\mathbb{E}\left(T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)(x)-T^{\mu \lambda m}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)(x)\right)\right| \\ &\geq T^{\mu \lambda m}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)(x) - \left|\left.\mathbb{E}\left(T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)(x)-T^{\mu \lambda m}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)(x) \right|\\ &> \frac{3\delta}{4}-\frac{\delta}{4} = \frac{\delta}{2}.\end{align}$

また、

$\displaystyle T^{\mu \lambda m}\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)(x) \leq \frac{\delta}{32k}$

及び

$\displaystyle \left|\left.\mathbb{E}\left(\left|T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}}-T^{\mu \lambda m}f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)-T^{\mu \lambda m}\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)\right|(x) < \frac{\delta}{32k}$

が成り立つので、三角不等式によって

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left|T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}}-T^{\mu \lambda m}f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)(x) < \frac{\delta}{16k}.$

故に、 $x \in \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}'$ がわかる。従って、

$\displaystyle \#\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}'\right) \geq \#\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}''\right) - \sum_{m=1}^{k_{\ast}}\#D_{\mu \lambda m}'-\sum_{m=1}^{k_{\ast}}\#D_{\mu \lambda m}''$

と評価できる。 $1 \leq \lambda m \leq N_0$ なので、⑤、⑥より

$\displaystyle \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}(D_{\mu \lambda m}') \ll N_0^{-1}, \ \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}(D_{\mu \lambda m}'') \ll N_0^{-1}$

であり、 $k_{\ast}=O(1)$ であることから所望の不等式を得る。

ここで、次の性質に注意する: 任意の $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して $E_n'' = T^nE_0''$ が成り立つ。

理由: $x \in T^nE_0'' \Longleftrightarrow x+n \in E_0'' \Longleftrightarrow$

$\displaystyle \left.\mathbb{E}(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}'')(x+n) \geq \frac{3\delta}{4}, \ \left. \mathbb{E}(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right| \right| \mathcal{B}'')(x+n) \leq \frac{\delta}{32k}$

$\Longleftrightarrow$

$\displaystyle T^n\left.\mathbb{E}(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}'')(x) \geq \frac{3\delta}{4}, \ T^n\left. \mathbb{E}(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right| \right| \mathcal{B}'')(x) \leq \frac{\delta}{32k}$

$\Longleftrightarrow x \in E_n''$ と確認できる。

よって、

$\displaystyle \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}''\right) = \int_{\mathbb{Z}_N}\mathbf{1}_{\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}''} = \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=1}^{k_{\ast}}\mathbf{1}_{E_{\mu \lambda m}''} = \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=1}^{k_{\ast}}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0''}$

が成り立ち、②、⑦より

$\displaystyle \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left( \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}\right) \geq \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=1}^{k_{\ast}}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0''} - O(N_0^{-1})$

が得られる。従って、前記事⑤より

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg \mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=1}^{k_{\ast}}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0''}\right) - O(N_0^{-1})$ −⑧

が示された。定義より $\mathbf{1}_{E_0''}$ は $\mathcal{B}''$ -可測関数なので、(この証明の最後の方法により)帰納法の仮定を使える状況になっている。しかしながら、 $\mathcal{B}''$ の複雑度が $X'$ に依存していることから(成功)には至らない。そこで、 $E_0''$ をもっと小さくする。 $\widetilde{E}$ を

$\displaystyle \widetilde{E} := \left\{x \in \mathbb{Z}_N\left| \left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right) \geq \frac{7\delta}{8}, \ \left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}\right) \leq \frac{\delta}{64k}\right\}\right.$

と定める。

補題２ (Lemma 10.4) (エネルギー増加)が生じるか

$\displaystyle \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\widetilde{E}\setminus E_0''\right) \ll \tau^2, \ \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(E_0''\cap \widetilde{E}\right) \geq \frac{\delta}{32}$

のどちらかが必ず成立する。

証明. $\mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}'')-\mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}') \leq \tau^2$ と仮定してよい(そうでなければ(エネルギー増加)が生じている)。もともと $\mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}')-\mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}) \leq \tau^2$ と仮定しているので

$\mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}'')-\mathcal{E}_{\boldsymbol{f}}(\mathcal{B}) \leq 2\tau^2$

が成り立つ。すると、§7のエネルギーギャップ公式より

$\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left|\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right)\right|^2 \leq 2\tau^2$

及び

$\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left|\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)-\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}\right)\right|^2 \leq 2\tau^2$

が成り立つ。これらにChebyshevの不等式を用いると

$\displaystyle \mathbb{P}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left(\left|\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right)\right|(x) \geq \frac{\delta}{8}\right) \ll \tau^2$ −⑨

及び

$\displaystyle \mathbb{P}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left(\left|\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)-\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}\right)\right|(x) \geq \frac{\delta}{64k}\right) \ll \tau^2$ −⑩

が得られる。 $x \in \widetilde{E}\setminus E_0''$ とすると、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right)(x) \geq \frac{7\delta}{8}, \ \left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}\right)(x) \leq \frac{\delta}{64k}$

が成り立ち、更に

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)(x) < \frac{3\delta}{4}$ −⑪

または

$\displaystyle\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)(x) > \frac{\delta}{32k}$ −⑫

が成り立つ。⑪が成り立つときは、三角不等式より

$\displaystyle \left|\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}''\right)-\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right)\right|(x) > \frac{\delta}{8}$

となり、⑫が成り立つときは

$\displaystyle \left|\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}''\right)-\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}\right)\right|(x) > \frac{\delta}{64k}$

となる。従って、⑨、⑩より $\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\widetilde{E}\setminus E_0''\right) \ll \tau^2$ が成り立つことが示された。

もう一つの不等式を証明する。仮定より

$\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right) = \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}} \geq \delta$

なので、 $N \gg 1$ で

$\displaystyle \mathbb{P}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left(\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right)(x) \geq \frac{7\delta}{8}\right) \geq \frac{\delta}{8}$

が成り立つ。理由: 背理法で証明する。

$\displaystyle \mathbb{P}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left(\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right)(x) \geq \frac{7\delta}{8}\right) < \frac{\delta}{8}$

と仮定すると

$\displaystyle \mathbb{P}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left(\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right)(x) < \frac{7\delta}{8}\right) \geq 1-\frac{\delta}{8}$

となる。 $\left(1-\frac{\delta}{8}\right)N$ が整数であれば

$\displaystyle \#\left\{x \in \mathbb{Z}_N\left| \left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right)(x) < \frac{7\delta}{8} \right\}\right. \geq \left(1-\frac{\delta}{8}\right) N$

なので、 $\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right)$ が有界関数であることに注意して

$\displaystyle \sum_{x=1}^N\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right)(x) < \frac{\delta}{8}N+\left(1-\frac{\delta}{8}\right)N \times \frac{7\delta}{8} =\left(\delta-\frac{7\delta^2}{64}\right)N < \delta N$

となり、

$\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right) < \delta$

となって矛盾する。 $\left(1-\frac{\delta}{8}\right)N$ が整数でなければ

$\displaystyle \#\left\{x \in \mathbb{Z}_N\left| \left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right) < \frac{7\delta}{8} \right\}\right. \geq \left[\left(1-\frac{\delta}{8}\right) N\right]+1$

であり、 $N-\left(\left[\left(1-\frac{\delta}{8}\right) N\right]+1\right) < \frac{\delta}{8}N$ なので

$\displaystyle \sum_{x=1}^N\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right)(x) < \frac{\delta}{8}N+\left\{\left(1-\frac{\delta}{8}\right)N+1\right\} \times \frac{7\delta}{8} =\delta N -\frac{7\delta^2}{64}N+\frac{7\delta}{8}$

となり、 $N \gg 1$ であれば

$\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right) < \delta-\frac{7\delta^2}{64}+\frac{7\delta}{8N} < \delta$

となって矛盾する。

仮定1. とCauchy-Schwarzの不等式より

$\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}\right) = \int_{\mathbb{Z}_N}\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\leq \left\|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right\|_{L^2}\leq \frac{\delta^2}{1024k}$

なので、Markovの不等式より

$\displaystyle \mathbb{P}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left(\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}\right)(x) > \frac{\delta}{64 k}\right) \leq \frac{64k}{\delta}\times \frac{\delta^2}{1024k} = \frac{\delta}{16}$

が得られる。こうして、

$\begin{align} \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\widetilde{E}\right) &\geq \mathbb{P}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left(\left.\mathbb{E}\left(f_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B}\right)(x) \geq \frac{7\delta}{8}\right)-\mathbb{P}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left(\left.\mathbb{E}\left(\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\right|\mathcal{B}\right)(x) > \frac{\delta}{64 k}\right) \\ &\geq \frac{\delta}{8}-\frac{\delta}{16}=\frac{\delta}{16}\end{align}$

となり、 $\displaystyle E_0'' \cap \widetilde{E} = \widetilde{E}\setminus \left(\widetilde{E}\setminus E_0''\right)$ なので、

$\displaystyle \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(E_0''\cap \widetilde{E}\right) \geq \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\widetilde{E}\right)-\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\widetilde{E}\setminus E_0''\right) \geq \frac{\delta}{16}-O(\tau^2)$

を得る。 $\tau \ll 1$ なので、 $\displaystyle \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(E_0''\cap \widetilde{E}\right) \geq \frac{\delta}{32}$ と結論づけられる。補題の証明終了

補題２より

$\displaystyle \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\widetilde{E}\setminus E_0''\right) \ll \tau^2, \ \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(E_0''\cap \widetilde{E}\right) \geq \frac{\delta}{32}$

の場合を考えればよい。このとき、

$\displaystyle \left\|\mathbf{1}_{E_0''\cap \widetilde{E}}-\mathbf{1}_{\widetilde{E}}\right\|_{L^2} \ll \tau$

が成り立つ。理由: 補題２の最後の式変形より

$\begin{align} \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\widetilde{E}\setminus E_0''\right) &\geq \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\widetilde{E}\right)-\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(E_0''\cap \widetilde{E}\right) = \int_{\mathbb{Z}_N}\mathbf{1}_{\widetilde{E}}-\int_{\mathbb{Z}_N}\mathbf{1}_{E_0''\cap \widetilde{E}} \\ &= \int_{\mathbb{Z}_N}\left|\mathbf{1}_{\widetilde{E}}-\mathbf{1}_{E_0''\cap \widetilde{E}}\right|^2 = \left\|\mathbf{1}_{\widetilde{E}}-\mathbf{1}_{E_0''\cap \widetilde{E}}\right\|_{L^2}^2\end{align}$

と計算できることからわかる。

定義から $\widetilde{E} \in \mathcal{B}$ であり、 $\mathbf{1}_{\widetilde{E}}$ は $\mathcal{B}$ -可測関数。 $\mathcal{B}$ は $(d-1)$ -コンパクトな $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族で複雑度は高々 $X$ である。よって、§6(その三)より非負値有界な一様概周期関数 $\widetilde{f}_{UAP} \in UAP^{d-1}$ であって

$\displaystyle \left\|\mathbf{1}_{\widetilde{E}}-\widetilde{f}_{UAP}\right\|_{L^2}\ll \tau, \quad \left\|\widetilde{f}_{UAP}\right\|_{UAP^{d-1}} \ll_{X, \tau} 1$

を満たすものを取れる。すると、三角不等式によって

$\displaystyle \left\|\mathbf{1}_{E_0''\cap \widetilde{E}}-\widetilde{f}_{UAP}\right\|_{L^2}\ll \tau$

であり、

$\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\mathbf{1}_{E_0''\cap \widetilde{E}} = \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(E_0''\cap \widetilde{E}\right) \geq \frac{\delta}{32}$

である。そこで、

$\displaystyle \left\|\mathbf{1}_{E_0''\cap \widetilde{E}}-\widetilde{f}_{UAP}\right\|_{L^2} = O(\tau) \leq \frac{(\delta/32)^2}{1024k_{\ast}}$

が成り立つだけ $\tau$ を小さくとっておけば、Thm 3.3の主張において

$\displaystyle f_{U^{\perp}}\mapsto \mathbf{1}_{E_0''\cap \widetilde{E}}, \quad \delta \mapsto \frac{\delta}{32}, \quad f_{UAP} \mapsto \widetilde{f}_{UAP},\quad M \mapsto O_{X, \tau}(1), \quad k \mapsto k_{\ast}, \quad d \mapsto d-1$

として帰納法の仮定を適用することができる。その帰結として

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=1}^{k_{\ast}}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0'' \cap \widetilde{E}}\right) \gg_{\tau, X} 1$

が得られる。注意: 帰納法の仮定からは直接的には

$\displaystyle \mathbb{E}_{0 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=0}^{k_{\ast}-1}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0'' \cap \widetilde{E}}\right) \gg_{\tau, X} 1$

が得られるが、

$\begin{align} &\left(\left[\frac{N_0}{k_{\ast}}\right]+1\right)\mathbb{E}_{0 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=0}^{k_{\ast}-1}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0'' \cap \widetilde{E}}\right) \\ &= \left[\frac{N_0}{k_{\ast}}\right]\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=0}^{k_{\ast}-1}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0'' \cap \widetilde{E}}\right)+\int_{\mathbb{Z}_N}\left(\mathbf{1}_{E_0''\cap \widetilde{E}}\right)^{k_{\ast}} \\ &\leq \left[\frac{N_0}{k_{\ast}}\right]\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=0}^{k_{\ast}-1}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0'' \cap \widetilde{E}}\right)+1\end{align}$

より

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=0}^{k_{\ast}-1}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0'' \cap \widetilde{E}}\right) \geq \mathbb{E}_{0 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=0}^{k_{\ast}-1}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0'' \cap \widetilde{E}}\right)-\left[\frac{N_0}{k_{\ast}}\right]^{-1}$

なので、 $N_0 \gg_{\tau, X} 1$ に対して

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=0}^{k_{\ast}-1}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0'' \cap \widetilde{E}}\right) \gg_{\tau, X} 1$

が成り立つ。そして、積分のシフト不変性とシフト作用素の基本性質から

$\begin{align} &\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=0}^{k_{\ast}-1}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0'' \cap \widetilde{E}}\right) \\ &=\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=0}^{k_{\ast}-1}T^{\mu \lambda (m+1)}\mathbf{1}_{E_0'' \cap \widetilde{E}}\right)=\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=1}^{k_{\ast}}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0'' \cap \widetilde{E}}\right)\end{align}$

である。よって、前記事(⭐︎)及び⑧より、或る定数 $C > 0, \ c(\tau, X) > 0$ が存在して

$\begin{align} \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_{U^{\perp}}\right) &\gg_{N_0}\mathbb{E}_{1 \leq \mu \leq \frac{N_1}{N_0}}\left( \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \right)\\ &\gg \mathbb{E}_{1 \leq \mu \leq \frac{N_1}{N_0}}\left(\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=1}^{k_{\ast}}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0''}\right)\right) - CN_0^{-1}\\ &\geq \mathbb{E}_{1 \leq \mu \leq \frac{N_1}{N_0}}\left(\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{m=1}^{k_{\ast}}T^{\mu \lambda m}\mathbf{1}_{E_0''\cap \widetilde{E}}\right)\right) - CN_0^{-1}\\ &\geq c(\tau, X)-CN_0^{-1}\end{align}$