グリーン・タオ論文の§6を読む（その一）

§6 Gowers anti-uniformity を二回に分けて読んでいきます。

定義１ 関数 $g \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{R})$ に対して、 $g$ のGowers反一様性ノルム $\left\|g\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}$ を

$\displaystyle \left\|g\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} := \sup\left\{ \left|\langle f, g\rangle\big| \ \right| \ f \in U^{k-1}(\mathbb{Z}_N), \ \left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq 1\right\}$

で定義する。 $U^{k-1}(\mathbb{Z}_N)$ は $\mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{R})$ にノルム $\left\| \cdot \right\|_{U^{k-1}}$ を付随して得られるBanach空間。

感覚としては、Gowers一様性ノルムが小さければ小さいほどGowers一様性が高く、Gowers反一様性ノルムが小さければ小さいほどGowers反一様性が高いと考えます。次の命題はこれらのノルムの双対性、及びこれらの概念がある意味で両立し得ない(Gowers反一様性が高ければGowers一様性が低い)ことを表します。

命題１ 任意の $f, g \in L^1(\mathbb{Z}_N)$ に対して

$\displaystyle \left|\langle f, g\rangle\right| \leq \left\|f\right\|_{U^{k-1}}\left\|g\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}$

が成り立つ。

証明. $f=0$ のときは自明なので、 $f \neq 0$ とし、 $\displaystyle \widehat{f}:=\frac{f}{\left\|f\right\|_{U^{k-1}}}$ とする。このとき、 $\left\|\widehat{f}\right\|_{U^{k-1}}=1$ なので、定義より

$\left|\langle\widehat{f}, g\rangle\right| \leq \left\|g\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}$

が成り立つ。 $\displaystyle \langle\widehat{f}, g\rangle = \frac{1}{\left\|f\right\|_{U^{k-1}}}\langle f, g\rangle$ なので、所望の不等式が示された。 Q.E.D.

定義２ $(U^{k-1})^{\ast}(\mathbb{Z}_N)$ を

$\displaystyle (U^{k-1})^{\ast}(\mathbb{Z}_N) := \{ g \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{R}) \mid \left\|g\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} < +\infty \}$

と定義する。

注意: Tao(2006) §5(その二)の命題１より、任意の $f, g \in L^1(\mathbb{Z}_N)$ に対して

$\displaystyle \left|\langle f, g\rangle\right| \leq \left\|f\right\|_{U^{k-1}}\left\|g\right\|_{UAP^{k-2}}$

が成り立つので、集合として

$\displaystyle UAP^{k-2} \cap \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{R}) \subset (U^{k-1})^{\ast}(\mathbb{Z}_N)$

が成り立つことがわかります。また、Tao(2006) §5(その一)で述べたように、実は集合として $UAP^{k-2}=\mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ が成り立つので、

$(U^{k-1})^{\ast}(\mathbb{Z}_N)=\mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{R})$

であるのですが、この事実はGreen-Taoの定理の証明では用いません。

命題２ $(U^{k-1})^{\ast}(\mathbb{Z}_N)$ はGowers反一様性ノルムをノルムに持つ $\mathbb{R}$ 上のBanach代数となる。

証明. $\left\|\cdot \right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}$ がノルム性質を満たすことを示せばよい(ベクトル空間になっていることは同時に確認できる)。非負性は定義から明らか。斉次性は内積の斉次性から従う。非退化性を示すために $\left\|g\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}=0$ を仮定すると、命題１より

$\displaystyle \left|\langle g, g\rangle\right| \leq \left\|g\right\|_{U^{k-1}}\left\|g\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}=0$

が成り立つ。よって、内積の非退化性から $g=0$ が従う。最後に三角不等式を証明する。 $g_1, g_2 \in (U^{k-1})^{\ast}(\mathbb{Z}_N)$ をとると、

$\begin{align} \left\|g_1+g_2\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} &= \sup\left\{\left|\langle f, g_1+g_2\rangle\right| \big| \ f \in U^{k-1}(\mathbb{Z}_N), \ \left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq 1\right\}\\ &=\sup\left\{\left|\langle f, g_1\rangle+\langle f, g_2\rangle\right| \big| \ f \in U^{k-1}(\mathbb{Z}_N), \ \left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq 1\right\} \\ &\leq \sup\left\{\left|\langle f, g_1\rangle\right|+\left|\langle f, g_2\rangle\right| \big| \ f \in U^{k-1}(\mathbb{Z}_N), \ \left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq 1\right\} \\ &\leq \sup\left\{\left|\langle f_1, g_1\rangle\right| \big| \ f_1 \in U^{k-1}(\mathbb{Z}_N), \ \left\|f_1\right\|_{U^{k-1}} \leq 1\right\} \\ &\quad +\sup\left\{\left|\langle f_2, g_2\rangle\right| \big| \ f_2 \in U^{k-1}(\mathbb{Z}_N), \ \left\|f_2\right\|_{U^{k-1}} \leq 1\right\}\\ &=\left\|g\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}+\left\|g_2\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}\end{align}$

と不等式評価できるので、 $g_1+g_2 \in (U^{k-1})^{\ast}(\mathbb{Z}_N)$ であり、三角不等式が成立する。 Q.E.D.

定義３ $F \in L^1(\mathbb{Z}_N)$ に対して $\mathcal{D}F \in L^1(\mathbb{Z}_N)$ を各 $x \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle \mathcal{D}F(x):=\left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \ \omega \neq 0^{k-1}}F(x+\omega \cdot h) \ \right| \ h\in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)$

と定義する。ここで、 $0^{k-1}:=(0, \dots, 0)$ 。

このとき、次の補題が成立します。

補題 (Gowers一様性の欠如が導く相関性, Lemma 6.1) 任意の $F \in U^{k-1}(\mathbb{Z}_N)$ に対して $\mathcal{D}F \in (U^{k-1})^{\ast}(\mathbb{Z}_N)$ であり、

$\displaystyle \langle F, \mathcal{D}F\rangle = \left\|F\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}$

及び

$\displaystyle \left\|\mathcal{D}F\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}=\left\|F\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}$

が成り立つ。更に、 $\nu$ を $k$ -擬ランダム測度とし、 $\left|F(x)\right| \leq \nu(x)+1$ が任意の $x \in \mathbb{Z}_N$ に対して成り立つならば、

$\displaystyle \left\|\mathcal{D}F\right\|_{L^{\infty}} \leq 2^{2^{k-1}-1}+o(1)$

が成立する。

証明. Gowers一様性ノルムの定義により

$\displaystyle \left\|F\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}} = \left.\mathbb{E}\Biggl( \prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}}F(x+\omega \cdot h) \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N, h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr) = \mathbb{E}\left(F\cdot \mathcal{D}F\right) = \langle F, \mathcal{D}F\rangle$

と一つ目の等式が得られる。二つ目の等式を示す。 $F=0$ ならば $\mathcal{D}F=0$ なので、 $F \neq 0$ と仮定してよい。任意の $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{R})$ に対して

$\left|\langle f, \mathcal{D}F \rangle \right| \leq \left\|f\right\|_{U^{k-1}}\left\|F\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}$

を示せばよい。理由: これが示されれば、特に $\left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq 1$ の場合に

$\left|\langle f, \mathcal{D}F \rangle \right| \leq \left\|F\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}$

が成り立つので、Gowers反一様性ノルムの定義より

$\displaystyle \left\|\mathcal{D}F\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} \leq \left\|F\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}$

を得る。よって、 $\mathcal{D}F \in (U^{k-1})^{\ast}(\mathbb{Z}_N)$ である。また、 $F \neq 0$ と仮定しているので、 $\displaystyle \widehat{F}:=\frac{F}{\left\|F\right\|_{U^{k-1}}}$ とすれば、一つ目の等式より

$\displaystyle \langle \widehat{F}, \mathcal{D}F\rangle = \left\|F\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}$

が成り立つので、

$\displaystyle \left\|F\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1} \leq \left\|\mathcal{D}F\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}$

が成り立つ。よって、二つ目の等式の成立が言える。さて、 $f_{\omega}$ を

$\displaystyle f_{\omega}:=\begin{cases} f & (\omega = 0^{k-1}) \\ F & (\omega \neq 0^{k-1})\end{cases}$

と定めれば、

$\displaystyle \langle f, \mathcal{D}F\rangle = \mathbb{E}(f\cdot \mathcal{D}F) = \langle (f_{\omega})_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}}\rangle_{U^{k-1}}$

とGowers内積で書くことができるので、§5(その一)で示したGCS不等式より

$\displaystyle \left|\langle f, \mathcal{D}F\rangle \right| \leq \prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}}\left\|f_{\omega}\right\|_{U^{k-1}} = \left\|f\right\|_{U^{k-1}}\cdot \left\|F\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}$

が得られる。こうして、二つ目の等式が示された。

$\left|F(x)\right| \leq \nu(x)+1$ が任意の $x \in \mathbb{Z}_N$ が成り立つと仮定する。最後の不等式を得るためには

$\displaystyle \mathcal{D}\nu_{1/2}(x) \leq 1+o(1)$

が( $x \in \mathbb{Z}_N$ に対して一様に)成り立つことを示せばよい。理由: $\left|F(x)\right| \leq 2\nu_{1/2}(x)$ なので、この不等式が示されれば

$\displaystyle \left|\mathcal{D}F(x)\right| \leq 2^{2^{k-1}-1}\left|\mathcal{D}\nu_{1/2}(x)\right| \leq 2^{2^{k-1}-1}+2^{2^{k-1}-1}o(1) = 2^{2^{k-1}-1}+o(1)$

が得られる。定義より

$\displaystyle \mathcal{D}\nu_{1/2}(x) = \left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\nu_{1/2}(x+\omega \cdot h) \ \right| \ h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)$

と表されるが、§3の補題より $\nu_{1/2}$ は $k$ -擬ランダム測度なので、 $(2^{k-1}-1, k-1, 1)$ -線形形式条件により、これは $1+o(1)$ に等しい(線形形式条件の定義における $b_i$ が全て $x$ の場合。実は $b_i \neq 0$ の線形形式条件を使うのはこの部分のみ)。 Q.E.D.

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

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