インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

グリーン・タオ論文の§6を読む(その二)

後半では基本Gowers反一様関数に関する一様分布性を証明します。

定義 \nuk-擬ランダム測度とする。\left|F(x)\right| \leq \nu(x) +1が任意の x \in \mathbb{Z}_Nに対して成り立つような関数 Fによって \mathcal{D}Fと表されるような関数のことを基本Gowers反一様関数とよぶ。

I:=[-2^{2^{k-1}}, 2^{2^{k-1}}]とすると、§6(その一)の補題より、十分大きい Nに対して基本Gowers反一様関数は I-値関数となることがわかります。

命題 (基本Gowers反一様関数に関する一様分布性, Proposition 6.2) \nuk-擬ランダム測度、Kを正整数、\Phi\colon I^K \to \mathbb{R}を(Nには依存しない)連続関数、\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_Kを基本Gowers反一様関数とし、\psi\colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}
\displaystyle \psi(x) := \Phi(\mathcal{D}F_1(x), \dots, \mathcal{D}F_K(x) ), \quad x \in \mathbb{Z}_N
によって定義する。このとき、
\langle \nu-1, \psi\rangle = o_{\Phi}(1)
が成り立つ。更に、E \subset C^0(I^K)がコンパクト集合で \Phi \in Eであれば、\Phiについて一様に
\langle \nu-1, \psi\rangle = o_{E}(1)
となる。ここで、C^0(I^K)I^K上の実数値連続関数全体のなす位相空間とする*1

この命題を証明するために、まず次の補題を用意する(基本Gowers反一様関数に関する設定は命題と同じとする)。

補題 Pを(Nには依存しない) K変数実数係数多項式とする。このとき、
\displaystyle \left\|P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} = O_P(1)
が成り立つ。

証明. P(x_1, \dots, x_K)=x_1\cdots x_Kの場合に

\displaystyle \left\|P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} = O_K(1) −①

を示せば十分である。理由: ①が証明されたと仮定して、単項式 P(x_1, \dots, x_K) = x_1^{i_1}\cdots x_K^{i_K}, \ i_1+\cdots +i_K=dの場合を考える。

\displaystyle P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K) = \underbrace{\mathcal{D}F_1 \cdots \mathcal{D}F_1}_{i_1}\cdots \cdots \cdots \underbrace{\mathcal{D}F_K \cdots \mathcal{D}F_K}_{i_K}

とみて①を適用すれば、

\displaystyle \left\|P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} = O_d(1)

が得られる。これが言えれば、一般の多項式 Pについては \left\|\cdot \right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}のノルム性質から所望の評価が得られる

今、\left|F_j(x)\right| \leq \nu(x) +1 \ (1 \leq j \leq K, x \in \mathbb{Z}_N)という設定を考えているが、\left|F_j(x)\right| \leq \nu(x) \ (1 \leq j \leq K, x \in \mathbb{Z}_N)という設定に変更しても一般性を失わない。理由:

\displaystyle \frac{\left|F_j(x)\right|}{2} \leq \frac{\nu(x)+1}{2} = \nu_{1/2}(x)

なので、§3の補題より、新設定で①が証明されれば

\displaystyle \prod_{j=1}^K\mathcal{D}F_j = (2^{2^{k-1}-1})^KO_K(1) = O_K(1)

が得られる

以下、新設定の元、①を証明する。Gowers反一様性ノルムの定義より、①を示すためには

\displaystyle \langle f, \prod_{j=1}^K\mathcal{D}F_j\rangle = O_K(1)

が任意の f \in U^{k-1}(\mathbb{Z}_N)であって \left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq 1を満たすものに対して成立することを示せばよい。\mathcal{D}F_jの定義により、\langle f, \prod_{j=1}^K\mathcal{D}F_j\rangle

\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggl(f(x)\prod_{j=1}^K\left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}F_j(x+\omega \cdot h^{(j)}) \ \right| \ h^{(j)} \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr) \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N\Biggr)

に等しい。任意の h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}に対して上記期待値は h^{(j)}=H^{(j)}+h, \ H^{(j)} \in \mathbb{Z}_N^{k-1}と変数変換することができるので、その変数変換を各hに関して施した後に平均を取ることによって、

\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggl(f(x)\prod_{j=1}^K\left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}F_j(x+\omega \cdot H^{(j)}+\omega \cdot h) \ \right| \ H^{(j)} \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr) \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N, h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)

と書き直すことができる。jに関する積を展開して、和の順序を取り替えると

\displaystyle {\small \mathbb{E}\Biggr(\left.\mathbb{E}\Biggl(f(x)\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\prod_{j=1}^KF_j(x+\omega \cdot H^{(j)}+\omega \cdot h) \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N, h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr) \ \Bigg| \ H^{(1)}, \dots, H^{(K)} \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)}

となる。これは、H=(H^{(1)}, \dots, H^{(K)})に対して

\begin{align} &f_{0, H}:=f, \\ &f_{\omega, H} := g_{\omega \cdot H}, \quad (\omega \neq 0^{k-1}) \\ &\omega \cdot H := (\omega \cdot H^{(1)}, \dots, \omega \cdot H^{(K)}),\\ &g_{u^{(1)}, \dots, u^{(K)}}(x) := \prod_{j=1}^KF_j(x+u^{(j)}), \quad (x, u^{(1)}, \dots, u^{(K)} \in \mathbb{Z}_N)\end{align}

と記号を導入すると、

\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\langle (f_{\omega, H})_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}}\rangle_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right)

とGowersノルムを用いて書き直すことができる。§5(その一)で示したGCS不等式より

\begin{align} \left.\mathbb{E}\left(\langle (f_{\omega, H})_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}}\rangle_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right) &\leq \left.\mathbb{E}\Biggr(\left\|f\right\|_{U^{k-1}}\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\Biggr) \\ &= \left\|f\right\|_{U^{k-1}}\left.\mathbb{E}\Biggr(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\Biggr) \\ &\leq \left.\mathbb{E}\Biggr(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\Biggr)\end{align}

なので、

\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggr(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\Biggr) = O_K(1)

を示せばよい。Hölderの不等式より

\begin{align} &\left.\mathbb{E}\Biggr(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\Biggr) \\ &\leq \prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\left(\left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right) \right)^{\frac{1}{2^{k-1}-1}}\end{align}

なので、各 \omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}に対して

\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right) = O_K(1)

を示せばよい。そこで、\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}を固定する。期待値が1以下なら主張は成立し、そうでなければ、Hölderの不等式より

\begin{align} \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right) &\leq \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right)^{\frac{2^{k-1}}{2^{k-1}-1}} \\ &\leq \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right)\end{align}

なので、

\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right) = O_K(1)

を示せばよい。H \mapsto \omega \cdot H\mathbb{Z}_N^K(\mathbb{Z}_N^{k-1})^Kによる一様被覆である。理由: この写像は \varphi_j\colon H^{(j)} \mapsto \omega \cdot H^{(j)}の直積写像であり、\omega \neq 0^{k-1}であることから各 \varphi_jの各点でのファイバーの元の個数は N^{k-2}であり、考えている写像の各ベクトルにおけるファイバーの元の個数は (N^{k-2})^Kである

従って、§1, 4の補題より

 \displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right) = \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{u^{(1)}, \dots, u^{(K)}}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right| u^{(1)}, \dots, u^{(K)} \in \mathbb{Z}_N\right)

を得る(\omega依存がなくなっている)。Gowers一様性ノルムと g_{u^{(1)}, \dots, u^{(K)}}の定義より、これは

\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggl( \prod_{\widetilde{\omega}\in \{0, 1\}^{k-1}}\prod_{j=1}^KF_j(x+u^{(j)}+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ x, u^{(1)}, \dots, u^{(K)} \in \mathbb{Z}_N, h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)

に等しく、

\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggl( \prod_{j=1}^K\left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\widetilde{\omega}\in\{0, 1\}^{k-1}}F_j(x+u^{(j)}+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ u^{(j)} \in \mathbb{Z}_N \Biggr) \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N, h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)

と変形できる。今、\left|F_j(x)\right| \leq \nu(x)と仮定しているので、三角不等式より

\begin{align} &\left|\left.\mathbb{E}\Biggl( \prod_{j=1}^K\left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\widetilde{\omega}\in\{0, 1\}^{k-1}}F_j(x+u^{(j)}+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ u^{(j)} \in \mathbb{Z}_N \Biggr) \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N, h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)\right| \\ &\leq \left.\mathbb{E}\Biggl( \left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\widetilde{\omega}\in\{0, 1\}^{k-1}}\nu(x+u+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ u \in \mathbb{Z}_N \Biggr)^K \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N, h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)\end{align}

と評価できる。y=x+uと変数変換することにより xに関する平均は消すことが出来るので、

\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggl( \left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\widetilde{\omega}\in\{0, 1\}^{k-1}}\nu(y+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ y \in \mathbb{Z}_N \Biggr)^K \ \right| \ h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr) =O_K(1)

を示せばよい。さて、\nu2^{k-1}-相関条件を満たすことから、任意の 1 \leq q < \inftyに対して

\mathbb{E}(\tau^q)=O_q(1) −②

を満たすような \tau \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+が存在して

\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\widetilde{\omega} \in \{0, 1\}^{k-1}}\nu(y+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ y \in \mathbb{Z}_N\Biggr) \leq \sum_{\substack{\widetilde{\omega}, \widetilde{\omega}' \in \{0, 1\}^{k-1} \\ \widetilde{\omega} \neq \widetilde{\omega}'}}\tau(h\cdot (\widetilde{\omega}-\widetilde{\omega}') )

が成り立つので、Minkowskiの不等式より

\begin{align} &\left.\mathbb{E}\Biggl( \left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\widetilde{\omega}\in\{0, 1\}^{k-1}}\nu(y+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ y \in \mathbb{Z}_N \Biggr)^K \ \right| \ h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr) \\ &\leq \mathbb{E}\Biggl(\Biggl(\sum_{\substack{\widetilde{\omega}, \widetilde{\omega}' \in \{0, 1\}^{k-1} \\ \widetilde{\omega} \neq \widetilde{\omega}'}}\tau(h\cdot (\widetilde{\omega}-\widetilde{\omega}') )\Biggr)^K \ \Bigg| \ h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr) \\ &\leq \Biggl(\sum_{\substack{\widetilde{\omega}, \widetilde{\omega}' \in \{0, 1\}^{k-1} \\ \widetilde{\omega} \neq \widetilde{\omega}'}} \left.\mathbb{E}\left(\tau (h\cdot (\widetilde{\omega}-\widetilde{\omega}') )^K \ \right| \ h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\right)^{\frac{1}{K}}\Biggr)^K\end{align}

を得る。よって、相異なる \widetilde{\omega}, \widetilde{\omega}' \in \{0, 1\}^{k-1}に対して

\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\tau (h\cdot (\widetilde{\omega}-\widetilde{\omega}') )^K \right| h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\right) = O_K(1)

を示せばよい。h \mapsto h\cdot (\widetilde{\omega}-\widetilde{\omega}')\mathbb{Z}_N\mathbb{Z}_N^{k-1}による一様被覆なので、§1, 4の補題と②より

\displaystyle  \left.\mathbb{E}\left(\tau (h\cdot (\widetilde{\omega}-\widetilde{\omega}') )^K \right| h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\right) = \mathbb{E}(\tau^K) = O_K(1)

が成り立つ。以上で証明が完了する。 Q.E.D.

命題の証明

\varepsilon > 0を任意にとる。\Phiがコンパクト集合 I^K \subset \mathbb{R}^K上定義される連続関数なのでWeierstrassの多項式近似定理より、\Phi\varepsilonにのみ依存するK変数実数係数多項式 Pが存在して

\displaystyle \left\|\Phi(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)-P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\right\|_{L^{\infty}} \leq \varepsilon

が成り立つ。このとき、

\displaystyle \left|\langle \nu-1, \Phi(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)-P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\rangle\right| \leq (2+o(1) )\varepsilon.

理由: G:=\Phi(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)-P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)と略記すれば

\displaystyle \left|\langle\nu-1, G\rangle\right| = \left|\mathbb{E}( (\nu-1)G)\right| \leq \mathbb{E}(\left|\nu-1\right| \cdot \left|G\right|) \leq \mathbb{E}(\left|\nu-1\right|)\left\|G\right\|_{L^{\infty}}

と計算できる。測度の定義より

\displaystyle \mathbb{E}(\left|\nu-1\right|) \leq \mathbb{E}(\nu+1)=\mathbb{E}(\nu)+1=2+o(1)

なので、\left\|G\right\|_{L^{\infty}}\leq \varepsilonと合わせて所望の不等式が得られる

多項式 Pについて

\displaystyle \langle \nu-1, P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\rangle = o_{\Phi, \varepsilon}(1)

が成り立つ。理由: §6(その一)の命題1、§5(その一)の補題3、この記事で示した補題より

\displaystyle \left|\langle\nu-1, P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\rangle\right| \leq \left\|\nu-1\right\|_{U^{k-1}}\cdot \left\|P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} = o(1)\cdot O_P(1) = o_P(1)

と評価でき、P\Phi, \varepsilonのみに依存することから所望の漸近公式が得られる

従って、N\Phi, \varepsilonのみに依存して十分大きければ

\begin{align} \left|\langle \nu-1, \psi\rangle\right| &\leq \left|\langle \nu-1, P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\rangle\right| + \left|\langle \nu-1, \psi-P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\rangle\right| \\ &\leq o_{\Phi, \varepsilon}(1)+(2+o(1) )\varepsilon \leq 3\varepsilon\end{align}

と評価でき、これは

\left|\langle\nu-1, \psi\rangle\right| = o_{\Phi}(1)

を示している。次に、コンパクト集合 E \subset C^0(I^K)をとって、\Phi \in Eの場合を考える。\varepsilon > 0を任意にとる。Eがコンパクトであることから、E\varepsilonのみに依存して正整数n 及び \Phi_1, \dots, \Phi_n \in Eが存在して、C^0(I^K)における\Phi_iを中心とする半径 \varepsilonの開円板を C_iとすれば、EC_1, \dots, C_nで被覆される。よって、或る 1 \leq i \leq nが存在して \Phi \in C_iであり、

\left\|\Phi - \Phi_i\right\|_{L^{\infty}} < \varepsilon

が成り立つ。\psi_i:=\Phi_i(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)とすれば、前半の議論により

\displaystyle \left|\langle\nu-1, \psi_i\rangle\right| = o_{\Phi_i}(1) = o_E(1)

が成り立つので、NE, \varepsilonのみに依存して十分大きければ

\displaystyle \left|\langle \nu-1, \psi\rangle \right| \leq \left|\langle \nu-1, \psi_i\rangle\right| + \left|\langle \nu-1, \psi-\psi_i\rangle\right| \leq o_{E}(1) + (2+o(1) )\varepsilon \leq 3\varepsilon

と評価でき、これは

\left|\langle\nu-1, \psi\rangle\right| = o_{E}(1)

を示している。 Q.E.D.

*1:位相は integers.hatenablog.com における C^0(I^K)=C(I^K, \mathbb{R})の位相と同じ。すなわち、\supノルムによる距離空間である。