グリーン・タオ論文の§7を読む（その二）

後半で基本Gowers反一様関数達に良い性質を持つ $\sigma$ -加法族を付随させる命題を証明します。

命題 (Proposition 7.3) $\nu$ を $k$ -擬ランダム測度とし、 $K \geq 1$ を整数とする。また、 $\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K \in L^{\infty}(\mathbb{Z}_N)$ は基本Gowers反一様関数、 $0 < \varepsilon < 1, \$ $0 < \eta < 1/2$ はパラメータ、 $\mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(\mathcal{D}F_j) \ (j=1, \dots, K)$ は§7(その一)の命題で存在する $\sigma$ -加法族であり、 $\mathcal{B}:=\mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(\mathcal{D}F_1) \vee \cdots \vee \mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(\mathcal{D}F_K)$ とする。このとき、 $K, \varepsilon$ のみに依存する正の数 $\eta_0(K, \varepsilon)$ 及び $K, \varepsilon, \eta$ のみに依存する正整数 $N_0(K, \varepsilon, \eta)$ が存在して、 $\eta < \eta_0(K, \varepsilon)$ かつ $N > N_0(K, \varepsilon, \eta)$ であれば、

$\left\|\mathcal{D}F_j-\left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_j\right|\mathcal{B})\right\|_{L^{\infty}} \leq \varepsilon, \quad 1 \leq j \leq K$

が成り立ち、或る $\Omega \in \mathcal{B}$ が存在して

$\displaystyle \mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_{\Omega}) = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

及び

$\displaystyle \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega})\left.\mathbb{E}(\nu-1\right|\mathcal{B})\right\|_{L^{\infty}} = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

が成り立つ。

証明. $\mathcal{B}$ の定義から、一つ目の不等式は§7(その一)の命題の直接的な帰結である。各 $\mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(\mathcal{D}F_j)$ のアトムの個数は $O(1/\varepsilon)$ 個なので、 $\mathcal{B}$ のアトムの個数は $O_{K, \varepsilon}(1)$ 個である(Tao(2006) §6(その一)の補題４より $\mathcal{B}$ のアトムは $\mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(\mathcal{D}F_j)$ のアトム達の共通部分として表すことができることに注意)。ここで、 $\mathcal{B}$ のアトム $A$ が"小さい"とは

$\displaystyle \mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_A) \leq \sqrt{\eta}$

が成り立つことと定義し、 $\Omega \in \mathcal{B}$ を

$\displaystyle \Omega := \bigcup_{A\colon \ \text{小さいアトム}}A$

とする。すると、

$\displaystyle \mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_{\Omega}) = \mathbb{E}\Biggl(\sum_{A\colon \ \text{小さいアトム}}(\nu+1)\mathbf{1}_A\Biggr) = \sum_{A\colon \ \text{小さいアトム}}\mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_A) = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

が成り立つ。よって、後は $\eta_0(K, \varepsilon)$ 及び $N_0(K, \varepsilon, \eta)$ が存在して、 $\eta < \eta_0(K, \varepsilon), \$ $N > N_0(K, \varepsilon, \eta)$ に対して

$\displaystyle \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega})\left.\mathbb{E}(\nu-1\right|\mathcal{B})\right\|_{L^{\infty}} = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

が成り立つことを示せばよい。そのためには、 $\eta_0(K, \varepsilon)$ 及び $N_0(K, \varepsilon, \eta)$ が存在して、 $\eta < \eta_0(K, \varepsilon), \$ $N > N_0(K, \varepsilon, \eta)$ に対して

$\displaystyle \frac{\mathbb{E}( (\nu-1)\mathbf{1}_A)}{\mathbb{E}(\mathbf{1}_A)} = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

が任意の小さくないアトム $A$ に対して成り立つことを示せばよい。理由: 十分小さい $\eta$ と十分大なる $N$ に対して上記等式が示されたと仮定する。ここで、等式

$\displaystyle \frac{\mathbb{E}( (\nu-1)\mathbf{1}_A)}{\mathbb{E}(\mathbf{1}_A)} = \left.\mathbb{E}(\nu-1 \right| A)$

が成り立つことに注意しておく。示すべきことは $x \in \mathbb{Z}_N$ に対して一様に

$\displaystyle \left( (1-\mathbf{1}_{\Omega})\left.\mathbb{E}(\nu-1\right|\mathcal{B})\right) (x) = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

が成り立つことである。 $\mathcal{B}(x)$ が小さいアトムであれば、この値は $0$ であるので、 $A:=\mathcal{B}(x)$ が小さくないときを考える。このとき、仮定より

$\displaystyle \left( (1-\mathbf{1}_{\Omega})\left.\mathbb{E}(\nu-1\right|\mathcal{B})\right) (x) = \left.\mathbb{E}(\nu-1 \right| A) = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

である。更に、小さくないアトム $A$ に対する等式

$\displaystyle \mathbb{E}( (\nu-1)\mathbf{1}_A)=o_{K, \varepsilon, \eta}(1)+O_{K, \varepsilon}(\eta)$ −③

に帰着できる(この等式自体は $\eta < \eta_0$ や $N > N_0$ は要求しない)。理由: 示せたとする。 $A$ が小さくないという仮定から

$\displaystyle \mathbb{E}( (\nu-1)\mathbf{1}_A)+2\mathbb{E}(\mathbf{1}_A) = \mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_A) \geq \sqrt{\eta}$

なので、 $N$ が $K, \varepsilon, \eta$ に依存して十分大きく、 $\eta$ が $K, \varepsilon$ に依存して十分小さければ

$\displaystyle 2\mathbb{E}(\mathbf{1}_A) \geq \sqrt{\eta}-\mathbb{E}( (\nu-1)\mathbf{1}_A) = \sqrt{\eta}-o_{K, \varepsilon, \eta}(1)-O_{K, \varepsilon}(\eta) > \frac{\sqrt{\eta}}{2}$

が成り立つ。従って、 $\eta$ が十分小さく、 $N$ が十分大きい状況で

$\displaystyle \left|\frac{\mathbb{E}( (\nu-1)\mathbf{1}_A)}{\mathbb{E}(\mathbf{1}_A)}\right| = \frac{o_{K, \varepsilon, \eta}(1)+O_{K, \varepsilon}(\eta)}{\mathbb{E}(\mathbf{1}_A)} \leq \frac{4}{\sqrt{\eta}}(o_{K, \varepsilon, \eta}(1)+O_{K, \varepsilon}(\eta) ) = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

が得られる。

③を証明する。 $A=A_1 \cap \cdots \cap A_K$ と書ける( $A_j$ は $\mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(\mathcal{D}F_j)$ のアトム)。このとき、§7(その一)の命題より各 $j$ に対して連続関数 $\Psi_{A_j}\colon I \to [0, 1]$ が存在して

$\displaystyle \left\|(\mathbf{1}_{A_j}-\Psi_{A_j}\circ \mathcal{D}F_j) (\nu+1)\right\|_{L^1} = O_{\varepsilon}(\eta)$

が成り立つ。連続関数 $\Psi_A \colon I^K \to [0, 1]$ を

$\displaystyle \Psi_A(x_1, \dots, x_K) := \prod_{j=1}^K\Psi_{A_j}(x_i)$

と定義する。すると、 $\displaystyle \mathbf{1}_A=\prod_{j=1}^K\mathbf{1}_{A_j}$ であることと、Tao(2006) §6(その三)の補題より

$\begin{align} \left\|\left(\mathbf{1}_A-\Psi_A(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\right) (\nu+1)\right\|_{L^1} &= \mathbb{E}\left(\left|\left(\mathbf{1}_A-\Psi_A(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\right) (\nu+1)\right|\right) \\ &\leq \mathbb{E}\Biggl( \sum_{j=1}^K\left|(\mathbf{1}_{A_j}-\Psi_{A_j}\circ \mathcal{D}F_j) (\nu+1)\right|\Biggr)\\ &=\sum_{j=1}^K\left\|(\mathbf{1}_{A_j}-\Psi_{A_j}\circ \mathcal{D}F_j) (\nu+1)\right\|_{L^1} \\ &= O_{K, \varepsilon}(\eta)\end{align}$

が得られる。よって、 $\left|\nu-1\right| \leq \nu+1$ であることから

$\displaystyle \left\|(\nu-1)\left(\mathbf{1}_A-\Psi_A(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\right)\right\|_{L^1} =O_{K, \varepsilon}(\eta)$ −④

である。 $K, \varepsilon, \eta$ のみから決まる集合 $E_{K, \varepsilon, \eta} \subset C^0(I^K)$ を

$\displaystyle \left.\left\{\prod_{j=1}^Kf_j(x_j) \in C^0(I^K) \ \right| \ f_j \in E_{\varepsilon, \eta}\right\}$

の閉包と定義する。ただし、 $E_{\varepsilon, \eta} \subset C^0(I)$ は§7(その一)の命題で存在するものとする。すると、 $E_{K, \varepsilon, \eta}$ はコンパクトであり*1、 $\Psi_A \in E_{K, \varepsilon, \eta}$ なので、§6(その二)の命題より

$\displaystyle \langle \nu-1, \Psi_A(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\rangle = o_{E_{K, \varepsilon, \eta}}(1)=o_{K, \varepsilon, \eta}(1)$

が成り立つ。これと④を合わせることにより

$\begin{align} \mathbb{E}( (\nu-1)\mathbf{1}_A) &= \mathbb{E}( (\nu-1)\Psi_A(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K) )+\mathbb{E}( (\nu-1)(\mathbf{1}_A-\Psi_A(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K) ) ) \\ &= o_{K, \varepsilon, \eta}(1)+O_{K, \varepsilon}(\eta)\end{align}$

と③が示された。 Q.E.D.

*1: $X, Y$ をコンパクト位相空間とし、 $E_1 \subset C(X, \mathbb{R}^n), \$ $E_2 \subset C(Y, \mathbb{R}^n)$ をそれぞれ相対コンパクトな部分集合とする。このとき、 $E \subset C(X\times Y, \mathbb{R}^n)$ を $E:=\{f(x)g(y)\mid f \in E_1, g \in E_2\}$ と定義すれば、 $E$ は相対コンパクトとなる。これは、Ascoli-Arzeláよりわかる。ここで、 $f(x)g(y)$ は値ではなく、それで定まる写像とする。

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

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