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数、特に整数に関する記事。

グリーン・タオ論文の§9を読む(その二)

Goldston-Yıldırım型定理Aを仮定して、\nu_{\text{GT}, b}(k2^{k-1}, 3k-4, k)-線形形式条件を満たすことを証明します。

命題 (Proposition 9.8) \nu_{\text{GT}, b}(k2^{k-1}, 3k-4, k)-線形形式条件を満たす。

r_Nを代表元をとる関数r_N \colon \mathbb{Z}_N \to \{0, 1, \dots, N-1\}とする(全成分で代表元をとる写像r_N\colon \mathbb{Z}_N^t \to \{0, 1, \dots, N-1\}^tも同じ記号を用いる)。

証明. m \leq k2^{k-1}, \ t \leq 3k-4を正整数とする。分母・分子の絶対値がk以下のmt個の有理数\{L_{ij}\}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq t}であって、m個のベクトル (L_{ij})_{1 \leq j \leq t} \in \mathbb{Q}^tはどの二つをとっても\mathbb{Q}上一次独立であるようなものをとる。十分大きい素数Nを考え、各有理数L_{ij}を自然に\mathbb{Z}_Nの元とみなし、b_i \in \mathbb{Z}_N \ (1 \leq i \leq m)を任意にとって、1 \leq i \leq mに対して線形形式 \psi_i \colon \mathbb{Z}_N^t \to \mathbb{Z}_N

\displaystyle \psi_i(\boldsymbol{x}):=\sum_{j=1}^tL_{ij}x_j+b_i, \quad (\boldsymbol{x} = (x_1, \dots, x_t) \in \mathbb{Z}_N^t)

で定義する。このとき、示すべきことは

\displaystyle \left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr) = 1+o(1)

であった。絶対値に関する条件を\left|L_{ij}\right| \leq O(1)に置き換えることによって、L_{ij}は整数であると仮定してよい。理由: 有理数L_{ij}達の分母の絶対値を全て掛け合わせたものをDとする。\psi_i'

\displaystyle \psi_i'(\boldsymbol{x}):=\sum_{j=1}^tDL_{ij}x_j+b_i, \quad (\boldsymbol{x} = (x_1, \dots, x_t) \in \mathbb{Z}_N^t)

とすれば、DL_{ij}は整数であり、\left|DL_{ij}\right| \leq k^{mt} = O(1). 全成分をD倍する写像\times D \colon \mathbb{Z}_N^t \to \mathbb{Z}_N^tNが十分大きければ全単射であり、

\begin{align} &\left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1'(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m'(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr) \\ &=  \left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in D\mathbb{Z}_N^t\bigr) \\ &= \left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr)\end{align}

が成り立つので、整数の場合に帰着される よって、L_{ij}達は絶対値がO_k(1)であるような整数であると仮定し、更に、絶対値が\frac{\sqrt{w(N)}}{2}で上から押さえられるだけNを大きくとっておく。こうして、Goldston-Yıldırım型定理Aを使える形に近づけているが、\nu_{\text{GT}, b}の定義が場合分けでなされていることから期待値の和の範囲を分割する議論が必要となる。Q=Q(N)を十分増加速度の遅い\displaystyle \lim_{N \to \infty}Q(N)=\inftyを満たすような整数とする。このとき、\mathbb{Z}_N^tを殆どサイズが等しいQ^t個のボックスに分ける*1\boldsymbol{u}=(u_1, \dots, u_t) \in \mathbb{Z}_Q^tに対して

\displaystyle B_{\boldsymbol{u}} := \left\{\boldsymbol{x}=(x_j)_{j=1}^t \in \mathbb{Z}_N^t \left| r_N(x_j) \in \left[ \left[\frac{r_N(u_j)N}{Q}\right], \left[\frac{(r_N(u_j)+1)N}{Q}\right] \right), \ j=1, \dots, t\right\}\right.

と定義すると、

\displaystyle \mathbb{Z}_N^t = \bigsqcup_{\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t}B_{\boldsymbol{u}}

と分割されているが、Gauss記号が整数となるかならないかによって各B_{\boldsymbol{u}}のサイズは若干異なり、Qの増加速度が十分遅ければ

\displaystyle \#B_{\boldsymbol{u}} =(1+o(1) ) \left(\frac{N}{Q}\right)^t

である。よって、

\begin{align} &\left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr) \\ &= \frac{1}{N^t}\sum_{\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t}\sum_{\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}}\nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right) \\ &= \frac{1}{N^t}\sum_{\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t}\#B_{\boldsymbol{u}}\left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}\bigr) \\ &= \frac{1+o(1)}{Q^t}\sum_{\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t}\left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}\bigr) \\ &= (1+o(1) )\left.\mathbb{E}\left( \left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}\bigr) \right| \boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t\right)\end{align}

を得る。ここで、\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^tナイスであるとは、任意の1 \leq i \leq mに対して

\psi_i(B_{\boldsymbol{u}}) \subset \mathrm{Im}(\iota_N) \ または \ \psi_i(B_{\boldsymbol{u}}) \cap \mathrm{Im}(\iota_N) = \emptyset

が成り立つことと定める。\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^tがナイスであれば、1 \leq i \leq mに対して

\displaystyle \nu_{\text{GT}, b}(\psi_i(\boldsymbol{x}) )= \frac{\varphi(W)}{W\log R}\Lambda_R(W\iota_N^{-1}(\psi_i(\boldsymbol{x}) )+b)^2 ,\quad {}^{\forall}\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}

であるか、

\displaystyle \nu_{\text{GT}, b}(\psi_i(\boldsymbol{x}) )= 1,\quad {}^{\forall}\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}

のいずれかが成り立つ(R=N^{\frac{1}{k2^{k+4}}})。ここで、前者のケースについて若干の議論を要する。

主張1 \boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^tはナイスとし、前者のケースとなるような1 \leq i \leq mをとって固定する。線形形式 \overline{\psi}_i \colon \mathbb{Z}^t \to \mathbb{Z}
\displaystyle \overline{\psi}_i(\boldsymbol{x}) := \sum_{j=1}^tL_{ij}x_j+r_N(b_i), \quad (\boldsymbol{x} = (x_1, \dots, x_t) \in \mathbb{Z}^t)
と定める。このとき、\boldsymbol{x}=(x_1, \dots, x_t) \in B_{\boldsymbol{u}}に対して整数\xi(\boldsymbol{x})が存在して
r_N(\psi_i(\boldsymbol{x}) ) = \overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}) )+ N\xi(\boldsymbol{x})
が成り立つが、\xi(\boldsymbol{x})\boldsymbol{u}にしか依らない。

主張1の証明. \boldsymbol{x}=(x_j)_{j=1}^t, \boldsymbol{x}'=(x_j')_{j=1}^t \in B_{\boldsymbol{u}}に対して、

\displaystyle \left(r_N(\psi_i(\boldsymbol{x}) ) - r_N(\psi_i(\boldsymbol{x}') ) \right) - \left(\overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}) )-\overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}') )\right) = N\left(\xi(\boldsymbol{x})-\xi(\boldsymbol{x}')\right) −①

が成り立つが、

\displaystyle \left|r_N(\psi_i(\boldsymbol{x}) ) - r_N(\psi_i(\boldsymbol{x}') ) \right| \leq \varepsilon_kN

であり、

\displaystyle \left|\overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}) )-\overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}') )\right| \leq \sum_{j=1}^t\left|L_{ij}\right|\left|r_N(x_j)-r_N(x_j')\right| \leq O\left(\frac{N}{Q}\right) = o(N)

なので、①の左辺の絶対値は十分大きいNに対してN未満になる。すなわち、\xi(\boldsymbol{x}) = \xi(\boldsymbol{x}')である。 主張1の証明終.

よって、\xi(\boldsymbol{x})=\xi_{\boldsymbol{u}}と書くことにし、線形形式 \overline{\psi}_i' \colon \mathbb{Z}^t \to \mathbb{Z}

\displaystyle \overline{\psi}_i'(\boldsymbol{x}) := \sum_{j=1}^tL_{ij}x_j+r_N(b_j)+N\xi_{\boldsymbol{u}}, \quad (\boldsymbol{x} = (x_1, \dots, x_t) \in \mathbb{Z}^t)

と定め*2\theta_i(\boldsymbol{x}):=W\overline{\psi}_i'(\boldsymbol{x})+bとすれば、先ほどの前者のケースは

\displaystyle \nu_{\text{GT}, b}(\psi_i(\boldsymbol{x}) )= \frac{\varphi(W)}{W\log R}\Lambda_R(\theta_i(r_N(\boldsymbol{x}) ) )^2 ,\quad {}^{\forall}\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}

となる。N/Q > R^{10m}N^{\frac{11}{16}} > Qであれば成立するので、Goldston-Yıldırım型定理Aより

\begin{align} &\left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}\bigr) \\ &=\left(\frac{\varphi(W)}{W\log R}\right)^{m'}\left.\mathbb{E}\bigl( \Lambda_R(\theta_{l_1}(\boldsymbol{x}) )^2\cdots \Lambda_R(\theta_{l_{m'}}(\boldsymbol{x}) )^2\right|\boldsymbol{x} \in r_N(B_{\boldsymbol{u}})\bigr) \\ &=1+o(1)\end{align}

が得られる(l_1 < \dots < l_{m'}1, \dots, mの或る部分列)。

次に、\boldsymbol{u}がナイスでない場合を考える。この場合は任意の\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}に対して

\displaystyle \nu_{\text{GT}, b}(\psi_i(\boldsymbol{x}) ) \leq 1+\frac{\varphi(W)}{W\log R}\Lambda_R(\theta_i(r_N(\boldsymbol{x}) ) )^2

と大胆に評価することにする*3。すると、展開して計算することによって、Goldston-Yıldırım型定理Aより

\displaystyle \left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}\bigr) \leq 2^m+o(1)

を得る。以上より、

主張2 ナイスでない\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^tの個数は高々O(Q^{t-1})個である。

が証明されれば、

\begin{align} &\left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr) \\ &=(1+o(1) )\left.\mathbb{E}\left( \left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}\bigr) \right| \boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t\right) \\ &=(1+o(1) )\cdot \frac{1}{Q^t}\left(\left(Q^t-O(Q^{t-1})\right)(1+o(1) )+O(Q^{t-1})\left(O(1)+o(1)\right)\right)\\ &= 1+o(1) + O(Q^{-1})\end{align}

と計算でき、Q \to \inftyであることから、これは1+o(1)となる。つまり、後は主張2を証明すればよい。

主張2の証明. \boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^tはナイスでないとする。このとき、或る1 \leq i \leq m及び\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}' \in B_{\boldsymbol{u}}が存在して、

\displaystyle \psi_i(\boldsymbol{x}) \in \mathrm{Im}(\iota_N),\quad \psi_i(\boldsymbol{x}') \not \in \mathrm{Im}(\iota_N)

が成り立つ。このとき、a=1 or 2のいずれかに対して、a\varepsilon_kNr_N(\psi_i(\boldsymbol{x}) )r_N(\psi_i(\boldsymbol{x}') )で挟まれる。\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}'B_{\boldsymbol{u}}に属していることと\left|L_{ij}\right|に関するバウンドから、

\displaystyle \overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}) ), \ \overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}') ) = \sum_{j=1}^tL_{ij}\cdot \frac{r_N(u_j)N}{Q}+r_N(b_i)+O\left(\frac{N}{Q}\right)

が成り立つので、主張1より

\begin{align}  &\sum_{j=1}^tL_{ij}\cdot \frac{r_N(u_j)N}{Q}+r_N(b_i)+O\left(\frac{N}{Q}\right)+N\xi_{\boldsymbol{u}} \\ & \leq a\varepsilon_kN  \\ &\leq  \sum_{j=1}^tL_{ij}\cdot \frac{r_N(u_j)N}{Q}+r_N(b_i)+O\left(\frac{N}{Q}\right)+N\xi_{\boldsymbol{u}}\end{align}

すなわち、

\displaystyle a\varepsilon_kN = \sum_{j=1}^tL_{ij}\cdot \frac{r_N(u_j)N}{Q}+r_N(b_i)+O\left(\frac{N}{Q}\right)+N\xi_{\boldsymbol{u}}

が成り立つことがわかる。両辺をN/Qで割れば

\displaystyle \sum_{j=1}^tL_{ij}r_N(u_j) = a\varepsilon_kQ-r_N(b_i)\frac{Q}{N}+O(1)+Q\xi_{\boldsymbol{u}}

となる。 a\varepsilon_kQ-r_N(b_i)\frac{Q}{N}+O(1)は整数なので、\boldsymbol{u}は一次合同式

\displaystyle \sum_{j=1}^tL_{ij}r_N(u_j) \equiv a\varepsilon_kQ-r_N(b_i)\frac{Q}{N}+O(1) \pmod{Q}

を満たさなければならないことがわかった。各ナイスでない\boldsymbol{u}に対してO(1)の部分が何か決まった一つの値になっているわけであるが、その合同式を満たすような\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^tは高々Q^{t-1}個しかない(Nが十分大きいとき、\mathbb{Z}_Q^tにおいて(L_{ij})_{j=1}^t \neq 0であるため)。よって、ナイスでない\boldsymbol{u}は高々O(Q^{t-1})個しか存在しないことがわかった。 主張2の証明終.

以上により、命題の証明が完了する。 Q.E.D.

*1:この言葉遣いはr_Nで送って\mathbb{R}^tで見たもの。

*2:定数部分はNに依存してよかったことに注意。

*3:\theta_i\psi_i(\boldsymbol{x}) \in \mathrm{Im}(\iota_N)となるような\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}達から定まる\xi_{\boldsymbol{u}}(cf. 主張1)を用いて先ほどと同様に定義する。