ゴールドバッハ・オイラーの定理

Riemannゼータの値の小数部分を足してみます。

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$\{x\}:=x-[x]$ .

$\begin{align} &\{\zeta(2)\}+\{\zeta(3)\}+\{\zeta(4)\}+\{\zeta(5)\}+\{\zeta(6)\}= \\&0.983585020846777979434040440946597778717585555000790601027\dots\end{align}$

全部足すと $1$ になります。

Goldbach-Euler $\ \ \ \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\{\zeta(n)\}=1.$

証明. Riemannゼータの定義より

$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\{\zeta(n)\} = \sum_{n=2}^{\infty}\sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m^n} = \sum_{m=2}^{\infty}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{m^n} = \sum_{m=2}^{\infty}\frac{\frac{1}{m^2}}{1-\frac{1}{m}}=\sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m(m-1)}$

これは望遠鏡和の例題２より $1$ に等しい。 Q.E.D.

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

ゴールドバッハ・オイラーの定理