Cauchy-Davenportの定理
を素数とし、を巡回群の空でない部分集合とする。を
と定義する。このとき、次が成り立つ:
これより、であればの任意の元はの元との元の和として表すことができることがわかる。
証明. とする。
主張が証明されたとする。 のとき、とすると
なので、に対して主張を適用することができ、
となって定理の証明が完了する。以下、主張をに関する帰納法で証明する。
のときは
と成立している。
とする。と仮定して背理法で証明する。このとき、二つの元集合とは一致する必要があるため、とすると、任意のと任意の整数に対してが成り立つことがわかる。
理由: に対してが存在してが成り立つので、であり、同様にに対してが存在してが成り立つので、である。あとは、であることからのようにして、帰納的にがわかる。
従って、とするとがわかり、が素数でであることからなので、となってが従い、矛盾に到達する。
とし、未満では主張が成立すると仮定する。とする。を示したいので、と仮定してよい。
とに対して帰納法の仮定を適用すると(より適用可能)、
が得られる。これより、或るが存在して
が成り立つ。理由: は元集合なので、この集合には族さないようなが存在する。
従って、とを適当に並べ替えることによって
が成り立つようにできる()。このとき、に対してである。理由: であればであり、となって矛盾。
よって、とすればであり
一方、に帰納法の仮定を適用すると、
なので、合わせると, すなわちが得られる。 Q.E.D.
鞄とその和集合
を有限Abel群とし、をの元からなる鞄(多重集合)とする。と書いたとき、の和集合を
で定義する。鞄の重複度込みの元の個数をで表し、の元からなる集合の元の個数をと表すことにする。
次の定理はこの一般的問題に対する一つの簡単な結果である:
証明. とする。このとき、
と書ける*1。のときはなので明らか。として未満では成立すると仮定する。このとき、Cauchy-Davenportの定理より
と証明される。 Q.E.D.
この定理はbest possibleである。とすれば、なので となる。
*1:一般にである。