インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

明示的ABC予想

ABC予想について述べた記事

integers.hatenablog.com

において「強い予想」として次を述べていました:

予想 任意のABCトリプル(a, b, c)に対して不等式
c < \mathrm{rad}(abc)^2
が成り立つ。

この予想は A. Granville, T. J. Tucker, "It’s as easy as abc", Notices of the AMS, 49 (2002), 1224-31. のp. 1227には既に述べられています。

しかし、ABCトリプルのクオリティの現状の記録はq(2, 3^{10}\cdot ​109, 23^5)≒1.6299なので、指数2をもうちょっと下げられるのではないかという気はします。この記事では、7/4=1.75と予想できるということを述べます。

Laishram-Shorey予想 任意のABCトリプル(a, b, c)に対して不等式
c < \mathrm{rad}(abc)^{\frac{7}{4}}
が成り立つ。

何故このようなことを予想できるかについてですが、実はBakerによる次のような予想が知られています。

Bakerの明示的ABC予想 任意のABCトリプル(a, b, c)に対して不等式
\displaystyle c < \frac{6}{5}\cdot \frac{N(\log N)^{\omega(N)}}{\omega(N)!}
が成り立つ。ここで、N=\mathrm{rad}(abc)であり、\omegaは素因数の個数を表す数論的関数

この予想は

A. Baker, "Experiments on the abc-conjecture", Publ. Math. Debrecen 65 (2004), 253–260.

で提唱されたものです。予想の根拠はこの記事では取り合えず述べないことにして、この予想を仮定するとLaishram-Shorey予想が導出されるということを紹介します。

p_i: i番目の素数.
\displaystyle \vartheta(x) := \sum_{p \leq x}\log p: Chebyshev関数(pは素数, x > 0).
\displaystyle p_n\# := \prod_{i=1}^np_i: 素数階乗.

命題 Nを正整数とし、\omega = \omega(N)とする。また、\varepsilon > 0をとる。このとき、正整数\omega_{\varepsilon}が存在して、N \geq p_{\omega_{\varepsilon}}\#であれば
\displaystyle \frac{(\log N)^{\omega}}{\omega !} < \frac{N^{\varepsilon}}{\sqrt{2\pi \omega_{\varepsilon}}}
が成り立つ。

証明. 正整数nに対して、F(n)

\displaystyle F(n):=\log n+\log \log n-1.076869

と定める。n \geq 5であればF(n) > 1である*1。正整数\omega_{\varepsilon}'

\varepsilon F(n)-\log F(n) \geq 1, \quad ({}^{\forall}n \geq \omega_{\varepsilon}')

が成り立つような5以上で最小のものとする。一旦、\omega \geq \omega_{\varepsilon}'と仮定する。N \geq p_{\omega}\#であることと、\varepsilon F(\omega) \geq 1+\log F(\omega) > 1 およびRobinの定理

\vartheta(p_n) \geq nF(n), \quad (n \geq 1)

より*2

\displaystyle \log N \geq \vartheta (p_{\omega}) \geq \omega F(\omega) > \frac{\omega}{\varepsilon}

が成り立つ。微分すれば関数\frac{x^{\varepsilon}}{(\log x)^{\omega}}x \geq \omega /\varepsilonで単調増加であることがわかるため、

\displaystyle \frac{\omega !N^{\varepsilon}}{(\log N)^{\omega}} \geq \frac{\omega !e^{\varepsilon \omega F(\omega)}}{(\omega F(\omega) )^{\omega}} > \sqrt{2\pi\omega}\left(\frac{\omega}{e}\right)^{\omega}\frac{e^{\varepsilon \omega F(\omega)}}{(\omega F(\omega) )^{\omega}}

なる不等式を得る(Stirlingの公式を用いている)。

\begin{align} \log \left(\sqrt{2\pi\omega}\left(\frac{\omega}{e}\right)^{\omega}\frac{e^{\varepsilon \omega F(\omega)}}{(\omega F(\omega) )^{\omega}} \right) &= \log \sqrt{2\pi \omega}+\omega (\log \omega -1)+\varepsilon \omega F(\omega)-\omega (\log \omega + \log F(\omega) ) \\ &> \log \sqrt{2\pi \omega}+\omega \left(\varepsilon F(\omega)-\log F(\omega)-1\right) \geq \log \sqrt{2 \pi \omega}\end{align}

と評価できるので、結局

\displaystyle \frac{\omega !N^{\varepsilon}}{(\log N)^{\omega}} > \sqrt{2\pi \omega} −①

が得られた(\omega \geq \omega_{\varepsilon}'の場合。この仮定はここまで)。\omega_{\varepsilon}

\displaystyle \vartheta (p_n) \geq \frac{n}{\varepsilon}, \quad \frac{n!(p_n\#)^{\varepsilon}}{(\vartheta(p_n) )^n} > \sqrt{2\pi n}, \quad (\omega_{\varepsilon} \leq {}^{\forall}n \leq \omega_{\varepsilon}')

が成り立つ最小正整数と定める(n=\omega_{\varepsilon}'で成立することは①でN=p_{\omega_{\varepsilon}'}\#とすればわかる。よって、\omega_{\varepsilon}は確かに存在する)。そうすると、部分的に同じ議論が適用できて①は\omega \geq \omega_{\varepsilon}に対して成立することわかり、このとき所望の不等式が成立する。

よって、後は\omega < \omega_{\varepsilon}かつN \geq p_{\omega_{\varepsilon}}\#のときを考えればよい。このとき、

\displaystyle \log N \geq \vartheta(p_{\omega_{\varepsilon}}) \geq \frac{\omega_{\varepsilon}}{\varepsilon}

なので、

\displaystyle \frac{\omega !N^{\varepsilon}}{(\log N)^{\omega}} \geq \frac{\omega !(p_{\omega_{\varepsilon}}\#)^{\varepsilon}}{\vartheta (p_{\omega_{\varepsilon}})^{\omega}} = \frac{\omega_{\varepsilon}!(p_{\omega_{\varepsilon}}\#)^{\varepsilon}}{\vartheta(p_{\omega_{\varepsilon}})^{\omega_{\varepsilon}}}\cdot \frac{\omega !}{\omega_{\varepsilon}!}(\vartheta (p_{\omega_{\varepsilon}}) )^{\omega_{\varepsilon}-\omega} > \sqrt{2\pi \omega_{\varepsilon}} \cdot \frac{\omega !\omega_{\varepsilon}^{\omega_{\varepsilon}-\omega}}{\omega_{\varepsilon}!} \geq \sqrt{2\pi \omega_{\varepsilon}}

と所望の評価が得られる。 Q.E.D.

定理 Bakerの明示的ABC予想が成立すると仮定すると、Laishram-Shorey予想が成り立つ。

証明. 正整数Nに対して\omega=\omega(N)とするとき、

\displaystyle \frac{(\log N)^{\omega}}{\omega !} < \frac{5}{6}N^{\frac{3}{4}}

が成り立つことを示せばよい。さて、命題の証明における\omega_{\varepsilon}'および\omega_{\varepsilon}\varepsilonから明示的に計算可能である。数値計算をすれば*3\omega_{\frac{3}{4}} = 14が確認できる。

\displaystyle \sqrt{2\pi \omega_{\frac{3}{4}}} = 9.37894... \geq \frac{6}{5}

なので、命題より、N < 43\#の場合を考えればよい(\omega < 14)。4 \leq \omega < 14のときは数値計算によって

\displaystyle \log N \geq \vartheta (p_{\omega}) \geq \frac{4}{3}\omega

が確認でき、関数x^{\frac{3}{4}}/(\log x)^{\omega}の単調性から

\displaystyle \frac{\omega !N^{\varepsilon}}{(\log N)^{\omega}} \geq \frac{\omega !(p_{\omega}\#)^{\varepsilon}}{\vartheta (p_{\omega})^{\omega}} > \frac{6}{5}

が確認できる(最後の不等式は数値計算)。あとは\omega=1, 2, 3の場合であるが、このとき、

\displaystyle \frac{\omega !N^{\frac{3}{4}}}{(\log N)^{\omega}} > \frac{6}{5} −②

N=e^{\frac{4\omega}{3}}に対して成立することを確認できるため(三回計算するだけ)、単調性よりN \geq e^{\frac{4\omega}{3}}に対しては主張が成立することがわかった。

最終的に残ったのは、\omega=1, 2, 3かつN < e^{\frac{4\omega}{3}}の場合のみで、それは

N=2, 3, 6, 10, 12, 14, 30, 42

に限定される。これらのときも②の成立が直接確認できる。 Q.E.D.

*1:F(5)=1.008454...

*2:G. Robin, Estimation de la fonction de Tchebychef \theta sur le k-ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction \omega(n) nombre de diviseurs premiers de n, Acta Arith. 42 (1983), 367-389. これは素数定理関連のeffectiveな結果の一つで、Rosser-SchoenfeldやDusartの結果などをこれまでの記事でも使ってきたが、一貫して証明を紹介するのは諦めているものの一つである。

*3:\frac{3}{4}x-\log x-1の零点は2.612.62の間にあり、F(14)=2.532610..., F(15) = 2.627410...である。つまり、\omega_{\frac{3}{4}}'=15がわかる。また、p_{14}=43で、\vartheta(p_{13})=33.34887..., \vartheta(p_{14})=37.11007..., G(n)=(n!(p_n\#)^{3/4})/(\vartheta(p_n) )^nとしたとき、G(13)=7.18867... < \sqrt{2\pi \cdot 13} =9.03777..., G(14)=11.35135... > \sqrt{2\pi \cdot 14} = 9.37894...なので\omega_{\frac{3}{4}}=14が確定する。