奇数の完全数が存在するかしないかというのは未解決問題です。
しかしながら部分的な研究成果は多数あって、例えば1913年にDicksonが「与えられた個数の素因数を持つような奇数の完全数は有限個しか存在しない」ということを証明しました。この結果は定量化されています。素因数の個数を表す数論的関数
を用いることにし、を奇数の完全数とすると、Pomeranceが1977年に
を示しました。その後、この結果は改良されており、Heath-Brownが1994年に
を示し、幾つかの研究を経て、Nielsenが2015年に
を示しました。S先生に教わったところHeath-Brownによる技術革新が結構重要ということなので、この記事では
D. R. Heath-Brown, Odd perfect numbers, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 115 (1994), 191–196.
を勉強します。
Heath-Brownの定理
を約数総和関数とする。実際には、次の定理を証明している:
のときを考えると冒頭で紹介した主張となる。次のような補題を用意することが重要である(現在は改良されている)。
証明. に関する帰納法で示す。
のとき。
が満たされており、
より
が言えるので
を得る。すると、
が成り立つことがわかる。次に、の場合を考える。まず、
を満たすような
が存在することを示す。いま、先ほどと同様に
から
が成り立つことに注意する。もし、任意の
に対して
だったと仮定すると
となって矛盾する*1。を満たす最小の
を
とする。
が成り立つ。の場合。①より
が成り立つ。の場合。
,
とすると、
なので、帰納法の仮定より
となり、①より
を得る。②よりこの式はどちらの場合分けでも成立していることがわかる。よって、後は
が成り立つことを示せばよく、そのために
を示せばよい。より
であり、より
である。 Q.E.D.
素数からなる有限集合に対して、
と定義する。また、正整数
に対して、
を
の素因数全体のなす集合とする。
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
が成り立つようなものが存在する。
証明. は
(
の場合)または、既約分数表示した際に分子が偶数である(
が奇数なので)。一方、
の既約分数表示における分子は奇数である(やはり
奇数より)。よって、
がわかる。の場合を考える。
なので*2、とすると
が成り立つ(であることに注意)。これより、
であって、
かつ
が成り立つようなが存在することがわかる(
)。このとき、補題1より
が成り立つ。よって、
が成り立つ。③より
である。この証明の冒頭の議論によって等号は成り立たない。すなわち、
である。ここまではを仮定していたが、
であっても
として⑤は成立する(場合分けの仮定は終了。
と
が同時に空集合にはなり得ないことに注意)。
の素因数分解を
と表す。このとき、
なので
が成り立つ。ただし、,
と定めている。⑤より
なので、
の存在性と同様にして、
であって
が成り立つようなものが存在する(であり、補題1を適用している)。
,
とする。このとき、
である。また、
とすれば、
であり、
である。
であり、,
とすれば
である。⑥、④より
が成り立ち、再び④より
を得る。 Q.E.D.
定理の証明. とし、
が定まっているときに、
を補題2において
となるように帰納的に定める。また、とする。
である。補題2(i)より
が存在して
が成り立ち、
がわかる。補題2(iii)より
なので、組み合わせると
が従う。また、補題2(iv)より に対して
なので、とすれば
を得る。なので、⑦と合わせて
が得られた。であり、各
達は互いに素なので、
である。また、
なので、
である。よって、であり、証明が完了する。 Q.E.D.