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INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

差分形式と離散ストークスの定理

Stokesの定理の離散版(の一つ)について軽くまとめます。通常のStokesの定理については

tsujimotter.hatenablog.com

をご覧ください*1

超立方体と差分形式

Nを正整数とし、N次元Euclid空間\mathbb{R}^Nを考える。

\boldsymbol{k}=(k_1, \dots, k_r) (1\leq k_1 < \cdots < k_r \leq N)\boldsymbol{a}=(a_1, \dots, a_N) \in \mathbb{Z}^Nに対して、\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}} \subset \mathbb{R}^N

\displaystyle \Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}:=\{(x_1,\dots, x_N) \in \mathbb{R}^N \mid x_i=a_i \ (i \not \in \{k_1, \dots, k_r\}), \ a_i\leq x_i \leq a_i+1 \ (i \in \{k_1, \dots, k_r\})\}

で定める。0\leq r\leq Nを固定して全ての(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{a})を考えた\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}達のなす集合をC_{r, N}とし、C_{r, N}の有限個の元の\mathbb{Z}-線形結合全体のなす加群を\widetilde{C}_{r, N}とする。ただし、C_{0, N}=\mathbb{Z}^Nと考える。

f \colon \mathbb{R}^N \to \mathbb{C}1 \leq i \leq Nに対して、\Delta_i f

\Delta_i f(x_1, \dots, x_N) := f(x_1, \dots, x_i+1, \dots, x_N)-f(x_1, \dots, x_N)

と定義する。

定義 r \geq 1とする。境界作用素 \partial \colon \widetilde{C}_{r, N} \to \widetilde{C}_{r-1, N}
\displaystyle \partial \Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}} := \sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}
と線形性によって定義する。ただし、\Box_{\boldsymbol{k}; \ast}を関数とみなして\Delta_{k_j}を作用させている。

命題 \partial^2=0.

証明. r \geq 2として\partial^2(\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}})=0を示せばよい。

\begin{align}&\partial^2(\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}) \\ &=\partial\left(\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}\right) \\
&=\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\left(\sum_{i=1}^{j-1}(-1)^{i-1}\Delta_{k_i}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_i}, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}+\sum_{i=j}^{r-1}(-1)^{i-1}\Delta_{k_{i+1}}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, \hat{k_{i+1}}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}\right) \\
&=\sum_{i < j}(-1)^{i+j}\left(\Delta_{k_i}\Delta_{k_j}-\Delta_{k_j}\Delta_{k_i}\right)\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_i}, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}=0\end{align}

と定義から計算できる。 Q.E.D.

定義 差分r-形式とは関数\omega \colon C_{r, N} \to \mathbb{C}のことをいい、差分r-形式全体のなす集合を\Omega^r(\mathbb{R}^N)と定義する。

差分r-形式\omegaを線形に延ばした関数も同じ記号で表す: \omega \colon \widetilde{C}_{r, N} \to \mathbb{C}

差分r-形式\omegaは各\boldsymbol{k}=(k_1, \dots, k_r) (1 \leq k_1 < \cdots < k_r \leq N)に対する関数\omega_{\boldsymbol{k}} \colon \mathbb{Z}^N \to \mathbb{C}によって決まる(\omega_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{a}) = \omega(\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}))。形式的に

\displaystyle \omega = \sum_{\boldsymbol{k}}\omega_{\boldsymbol{k}}\Delta x_1 \wedge \cdots \wedge \Delta x_r

と書いてもよいが、ここでは深入りしない。

定義 r \leq N-1とする。差分作用素\Delta \colon \Omega^r(\mathbb{R}^N) \to \Omega^{r+1}(\mathbb{R}^N)
\displaystyle (\Delta \omega)_{(k_1, \dots, k_{r+1})}(\boldsymbol{a}):=\sum_{j=1}^{r+1}(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_{r+1})}(\boldsymbol{a})
で定める。

命題 \Delta^2=0.

証明. r \leq N-2として、\Delta^2\omega=0を示す。

\begin{align}&(\Delta(\Delta \omega) )_{(k_1, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a}) \\
&=\sum_{j=1}^{r+2}(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}(\Delta \omega)_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a}) \\
&=\sum_{j=1}^{r+2}(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\left(\sum_{i=1}^{j-1}(-1)^{i-1}\Delta_{k_i}\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_i}, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a})+\sum_{i=j}^{r+1}(-1)^{i-1}\Delta_{k_{i+1}}\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, \hat{k_{i+1}}, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a})\right) \\
&=\sum_{i < j}(-1)^{i+j}\left(\Delta_{k_j}\Delta_{k_i}-\Delta_{k_i}\Delta_{k_j}\right)\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_i}, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a}) =0
\end{align}

と定義から計算できる。 Q.E.D.

離散Stokesの定理

定義 D \in \widetilde{C}_{r, N}, \ \omega \in \Omega^r(\mathbb{R}^N)に対して
\displaystyle \int_D\omega:=\omega(D)
と積分を定義する。

離散版Stokesの定理 r \geq 1とする。D \in \widetilde{C}_{r, N}, \ \omega \in \Omega^{r-1}(\mathbb{R}^N)に対して
\displaystyle \int_{D}\Delta \omega = \int_{\partial D}\omega
が成り立つ。

証明. 主張は(\Delta \omega)(D) = \omega(\partial D)であり、線形性からD=\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}のときに示せばよい。そうして、定義から

\begin{align} (\Delta \omega)(\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}) &= (\Delta \omega)_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{a}) \\ 
&= \sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r)}(\boldsymbol{a}) \\
&=\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\omega(\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}) \\
&=\omega\left(\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}\right)\\
&=\omega(\partial \Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}})\end{align}

と計算される。 Q.E.D.

離散微積分学の基本定理=望遠鏡和

Stokesの定理が微積分学の基本定理の一般化であったのに対応して離散版Stokesの定理は望遠鏡和の一般化になっているが、導出に望遠鏡和を用いる。

N=1として、差分0-形式 \mathbb{Z} \to \mathbb{C}をとってn \mapsto a_nと記す。D=\Box_{1; 1}+\Box_{1; 2}+\cdots +\Box_{1; n-1}とすると

\displaystyle \partial D= \sum_{i=1}^{n-1}\{(i+1)-(i)\}=(n)-(1)

であり、

\displaystyle (\Delta a_{\bullet})(\Box_{1; i})=(\Delta a_{\bullet})_1(i) = \Delta_1a_i=a_{i+1}-a_i

なので、離散版Stokesの定理は

\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)=a_n-a_1

を意味する。

離散Greenの定理

次に、離散版Greenの定理を記述する。

それは、r=1, N=2の場合である。

左下のコーナーが(a_1, a_2) \in \mathbb{Z}^2であるような一辺の長さが1の正方形(内部も含める)を\Box(a_1, a_2)と表す。このような正方形を合併(Dとする)が短連結であるように有限個選ぶ。

Dの境界をとって得られる閉曲線(半時計周り)をCとする。

(a_1, a_2)から(a_1+1, a_2)への有向線分を\rightarrow(a_1, a_2)、逆向きのものを\leftarrow(a_1, a_2)(a_1, a_2)から(a_1, a_2+1)への有向線分を\uparrow(a_1, a_2)、逆向きのものを\downarrow(a_1, a_2)と表す。

Cをこれら四種類の有向線分によりC(\rightarrow), C(\leftarrow), C(\uparrow), C(\downarrow)に分割する。

\omegaを長さ1の(端点が格子点であるような)有向線分全体のなす集合から\mathbb{C}への関数とし、\omega_x(a_1, a_2):=\omega(\rightarrow(a_1, a_2) ), \omega_y(a_1, a_2):=\omega(\uparrow(a_1, a_2) )と略記する。このとき、離散Stokesの定理を定義通り書き下すと

\begin{align} &\sum_{\rightarrow(a_1, a_2) \in C(\rightarrow)}\omega_x(a_1, a_2)+\sum_{\uparrow(a_1, a_2) \in C(\uparrow)}\omega_y(a_1, a_2)-\sum_{\leftarrow(a_1, a_2) \in C(\leftarrow)}\omega_x(a_1, a_2)-\sum_{\downarrow(a_1, a_2) \in C(\downarrow)}\omega_y(a_1, a_2) \\ &= \sum_{\Box(a_1 a_2) \subset D}\left\{\left(\omega_y(a_1+1, a_2)-\omega_y(a_1, a_2)\right)-\left(\omega_x(a_1, a_2+1)-\omega_x(a_1, a_2)\right)\right\}\end{align}

となり、これが離散版Greenの定理である。曲線に沿った和が領域内の正方形毎の和と一致している。

参考文献

  • G. Labelle, A. Lacasse, Discrete Versions of Stokes’ Theorem Based on Families of Weights on Hypercubes, Discrete Geometry for Computer - Imagery, 15th IAPR International Conference, (2009), Proceedings.
  • E. L. Mansfield, P. E. Hydon, Difference forms, Found. Comp. Math. (2007).
  • A. N. Hirani, Discrete Exterior Calculus, Thesis.

*1:tsujimotterさんお誕生日おめでとうございます!!