私は1989年生まれですが、の現れる問題を発見したので紹介します。
問題*1 以上の整数に対して合同式が成り立つことを示せ。
で紹介されているCarmichaelの定理を用います。
証明. が奇数であれば
が成り立つ。理由: であり、である。
理由: であり、である。
であれば
理由: が偶数のときはより成立。が奇数のときはであり、(1)よりより成立。
(2)、(3)よりであればに対して
が成り立つことが示された。
なので、に注意すると
がに対して成立する。なので、中国式剰余定理より
が示された。 Q.E.D.
*1:バルカン数学オリンピックの問題?