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INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

行列式の問題

線形代数の問題です。n3以上の奇数であるとき、次の行列式が0であることを示してください。


\left| \begin{array}{cccccc}
\frac{1}{2!} & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
\frac{1}{3!} & \frac{1}{2!} & 1 & 0 & \cdots & 0  & 0\\
\frac{1}{4!} & \frac{1}{3!} & \frac{1}{2!} & 1 & \cdots & 0  & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\frac{1}{(n-1)!} & \frac{1}{(n-2)!} & \frac{1}{(n-3)!} & \frac{1}{(n-4)!} & \cdots & 1 & 0 \\
\frac{1}{n!} & \frac{1}{(n-1)!} & \frac{1}{(n-2)!} & \frac{1}{(n-3)!} & \cdots & \frac{1}{2!} & 1 \\
\frac{1}{(n+1)!} & \frac{1}{n!} & \frac{1}{(n-1)!} & \frac{1}{(n-2)!} & \cdots & \frac{1}{3!} & \frac{1}{2!}
\end{array} \right|


例えば、n=3のとき


\left| \begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} & 1 & 0 \\
\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 1 \\
\frac{1}{24} & \frac{1}{6} & \frac{1}{2}
\end{array} \right| = 0


です。少し先に解答を書きます。

















関-Bernoulli数の行列式表示

関-Bernoulli数の定義はB_1=\frac{1}{2}が好みですが、ここでは母関数が

\displaystyle \frac{t}{e^t-1} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}t^n

であるものを採用します(つまり、B_1=-\frac{1}{2})。このとき、B_0=1で、n\geq 1ならば漸化式

\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n+1}{k}B_k=0

を満たします。これを少し変形すれば

\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{(n+1-k)!}\cdot \frac{B_k}{k!} = -\frac{1}{(n+1)!}

となりますが、n1, 2, 3, \dots, nと置き換えた式を順に並べると

\begin{align}&\sum_{k=1}^1\frac{1}{(2-k)!}\cdot \frac{B_k}{k!} = -\frac{1}{2!} \\
&\sum_{k=1}^2\frac{1}{(3-k)!}\cdot \frac{B_k}{k!} = -\frac{1}{3!} \\
&\qquad\qquad\quad \cdots \\
&\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(n-k)!}\cdot \frac{B_k}{k!} = -\frac{1}{n!} \\
&\sum_{k=1}^n\frac{1}{(n+1-k)!}\cdot \frac{B_k}{k!} = -\frac{1}{(n+1)!}
\end{align}

となるので、

\left( \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
\frac{1}{2!} & 1 &\cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
\frac{1}{(n-1)!} & \frac{1}{(n-2)!} & \cdots  & 1 & 0 \\
\frac{1}{n!} & \frac{1}{(n-1)!} & \cdots & \frac{1}{2!} & 1
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
\frac{B_1}{1!} \\
\frac{B_2}{2!} \\
\vdots \\
\frac{B_{n-1}}{(n-1)!} \\
\frac{B_n}{n!}
\end{array}\right)
=-
\left(\begin{array}{c}
\frac{1}{2!} \\
\frac{1}{3!} \\
\vdots \\
\frac{1}{n!} \\
\frac{1}{(n+1)!}
\end{array}\right)

が得られます。よって、左辺に現れた行列の行列式が1であることに注意してCramerの公式を適用することにより

\displaystyle \frac{B_n}{n!}=\left| \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{2!}\\
\frac{1}{2!} & 1 &\cdots & 0 & -\frac{1}{3!}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\frac{1}{(n-1)!} & \frac{1}{(n-2)!} & \cdots  & 1 & -\frac{1}{n!}\\
\frac{1}{n!} & \frac{1}{(n-1)!} & \cdots & \frac{1}{2!} & -\frac{1}{(n+1)!}
\end{array}\right|

と解くことができます。第n列の-1倍を前に出してから列を一つずつ右に巡回させる(第n列は第1列にもってくる)ことによって(これで(-1)^{n-1}倍される)、問題の行列式は\displaystyle (-1)^n\frac{B_n}{n!}に等しいことがわかりました。なので、問題も解けました。