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INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

一般化ハーディ・リトルウッド予想について

中村滋著『素数物語: アイディアの饗宴』岩波科学ライブラリー283を購入して読みました。これは素数定理の発見に至る歴史をユークリッド・フェルマー・オイラー・ガウスの発見・研究を通じて概観する一般書です。歴史的解説のみではなく、時にはコラムの形をとって、素数に関する種々の定理の証明がそのアイデアに着目して紹介されています。また、ごく最近になって発表された現代的な別証明等も幾つか記載されていることが特徴の一つです。

私は素数がとても好きですが、当然好きでない人もいます。好きな人もいれば好きでない人もいる。当たり前です。どちらかを強要することはよくないことですが、好きでいることが他人からするともしかしたら目障りと思われているのではないかと感じてしまう事象が最近ありました。勿論、好きでいることが自分の中で閉じていれば目障りになることはないですが、例えば目の前にトランプのカードQとKがこの順に並んでいると「1213は素数だ!」と人前でニコニコで言ってしまうほど好きなのです。

人に迷惑をかけていたら嫌だなあと少し悲しくなっていたのですが、ちょうどこの本を読んでいて、でもやっぱり素数はとても面白くて好きだ!フェルマーとかオイラーとかガウスとかもこれめちゃくちゃ素数のこと好きやったやろ!と思って気分が向上しました。

特に、ガウスについては高木貞治『近世数学史談』を読んだときも似たような印象を持ちましたが、コンピュータのない時代にありながらオイラーとガウスが計算狂と言っていいほど生涯に渡って計算しまくっていたエピソードが大好きです。今回、このエピソードについては『近世数学史談』には載っていなかったものもあって収穫がありました。ガウスは、15歳のときには素数定理を予想できていたことは有名ですが、(時には表の作成を人に要請して)素数表が手に入るたびに区間内の素数の個数を計算して予想の成立への確信を高めていたようです。いかにガウスが計算しまくっていたかがわかる、付録『ガウス晩年の手紙』は一読の価値があると思います。

今や素数定理は証明されていて、その証明も非常に簡略化されており、ブログで読めてしまう始末です。ともすれば「素数定理なんて簡単だ」と錯覚してしまいそうですが、

「全数学のうちで最も注目すべき定理」とアーベル(中略)を感嘆させた大定理「素数定理」

という文にハッとさせられました。素数定理は確かに歴史に残る大定理なのです。この美しい法則を「大量の計算に基づいて」発見したガウスの喜びを想像して、想像でしかありませんが「とても嬉しかっただろうなあ」と勝手に思ったりもしました。

ところで、普段から素数の勉強をしているので大部分の内容が私にとっては復習であったわけですが、この本の最後のコラムに『スーパー双子素数の個数に関する高橋予想』というものがあってその内容はパッと見は初見でした。

前提知識としてハーディとリトルウッドが「双子素数版素数定理(予想)」をx以下の双子素数の個数が

\displaystyle 2\prod_{p\geq 3}\frac{p(p-2)}{(p-1)^2}\int_2^x\frac{\mathrm{d}t}{\log t\log(t+2)}

に漸近すると予想していました。一般の素数k組版素数定理(予想)もあって、ハーディ・リトルウッド予想と言ったりします。

飯高・高橋の文献によればa, b, c, d \in \mathbb{Z}, a, c > 0に対してp=aq+bかつp,qがともに素数なら(p,q)a,bに関するスーパー双子素数、p=aq+b, r=cq+dかつp,q,rが全て素数であれば(p,q,r)a,b,cに関するウルトラ三つ子素数と呼ぶらしいです。

これらの組が無数に存在するためのa,b,cの条件を(conjecturalに)決めるという定性的性質に関する問題はスーパー双子素数の場合が(a,b)=1かつa+b\equiv 1\pmod{2}、ウルトラ三つ子素数の場合が(a,b)=1, (c,d)=1かつa+b\equiv c+d\equiv 1\pmod{2}かつ「ac\equiv -bd \not\equiv 0 \pmod{3}ではない」とのことですが、これらはより一般的なディクソンの予想の条件の言い換えであることは容易に分かります*1

(a,b)=1かつa+b\equiv 1\pmod{2}なるa,bに対するスーパー双子素数についての定量的な漸近公式として、p\leq xなるスーパー双子素数(p,q)の個数は

\displaystyle 2\prod_{p\geq 3}\frac{p(p-2)}{(p-1)^2}\prod_{p\geq 3, p\mid ab}\frac{p-1}{p-2}\int_2^x\frac{\mathrm{d}t}{\log t\log(at+b)}

に漸近するという予想が高橋予想STという名で本に書いてありました。ただ、ディクソンの予想が対象とする、より一般の場合の漸近予想が知られていないとは思えなかったのと、そういう話がグリーン・タオの論文


B. Green and T. Tao, Linear equations in primes, Ann. of Math., 171, no. 3, (2010), 1753–1850.


にも載ってたはずだと思って、この論文はかなり重要らしいし彼らの主定理がどんなものかぐらいこの際勉強しようと思いました。というわけでほんの少しだけまとめてみます。以下、多少記号の説明は省いています。

\psi\colon \mathbb{Z}^d\to\mathbb{Z}\mathbb{Z}^d上のアフィン線形形式であるとは、線形形式 \dot{\psi}\colon \mathbb{Z}^d\to\mathbb{Z}を用いて\psi=\dot{\psi}+\psi(0)と書けることとします。また、t\geq 1に対して\Psi=(\psi_1, \dots, \psi_t)を考えます(各\psi_i\mathbb{Z}^d上のアフィン線形形式)。このとき、\Psi=\dot{\Psi}+\Psi(0)とすれば、\dot{\Psi}\colon \mathbb{Z}^d \to \mathbb{Z}^tは線形写像です。ただし、\{\psi_i\}はどれも定数ではなく、どの二つを取っても互いに有理数倍にはなってない場合を扱うこととします。N > 0に対して

\displaystyle \left\|\Psi\right\|_N:=\sum_{i=1}^t\sum_{j=1}^d\left|\dot{\psi}_i(e_j)\right|+\sum_{j=1}^t\left|\frac{\psi_i(0)}{N}\right|

と定義しておきます。\{e_j\}は標準基底です。

K \subset [-N,N]^dを凸集合、\left\|\Psi\right\|_N\leq Lとするとき、

\displaystyle \beta_{\infty}:=\mathrm{Vol}_{\mathbb{R}^d}(K\cap \Psi^{-1}( (\mathbb{R}^{+})^t) )

に対して

\displaystyle \sum_{n\in K\cap\mathbb{Z}^d}\prod_{i=1}^t\mathbf{1}_{\mathbb{R}^{+}}(\psi_i(n) )=\beta_{\infty}+o_{d,t,L}(N^d) \tag{1}

が成り立ちます。\Lambda\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{R}^{+}von-Mangoldt関数とするときに

\displaystyle  \sum_{n\in K\cap\mathbb{Z}^d}\prod_{i=1}^t\Lambda(\psi_i(n) )

の評価を求めることが加法的整数論における非常に大きな興味であると考えることにします。ディクソンの予想が取り扱っているのはd=1の場合ですから、問題設定自体が高次元化されていることに注意してください。素数定理を思い出せば、(1)の観点から

\displaystyle  \sum_{n\in K\cap\mathbb{Z}^d}\prod_{i=1}^t\Lambda(\psi_i(n) )=\beta_{\infty}+o_{d,t,L}(N^d)

を予想したくなるかもしれませんが、これではsmall moduliによる局所的obstructionを考慮できていません。実際、算術級数の素数定理q\geq 1, |b|\leq qに対して

\displaystyle \sum_{n=1}^N\Lambda(qn+b)=\Lambda_{q}(b)N+o_q(N)

でした。ここで、\Lambda_q\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{R}^{+}(b,q)=1であれば\Lambda_q(b):=q/\varphi(q), そうでなければ0と定義される局所von-Mangoldt関数です。天下り的ではありますが、

\displaystyle \Lambda_q(b)=\prod_p\mathbb{E}(\Lambda_p(qn+b)\mid n\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})

が成り立っています(\mathbb{E}はいつもの平均)。この点もちゃんと考慮して、次が予想されています。

一般化ハーディ・リトルウッド予想 N,d,t,L\in\mathbb{N}, \Psi=(\psi_1, \dots, \psi_t) with \left\|\Psi\right\|_N\leq L, 凸集合K\subset [-N,N]^dに対して
\displaystyle  \sum_{n\in K\cap\mathbb{Z}^d}\prod_{i=1}^t\Lambda(\psi_i(n) )=\beta_{\infty}\prod_p\beta_p+o_{d,t,L}(N^d)
が成り立つ。ただし、
\displaystyle \beta_p:=\mathbb{E}\left.\left(\prod_{i=1}^t\Lambda_p(\psi_i(n) ) \ \right| \ n\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^d\right)
である。

素数定理には色々な変形版があるのと同様、この予想から

\begin{align}&\#\{n\in K\cap\mathbb{Z}^d \mid \psi_1(n), \dots, \psi_t(n): \text{prime}\} \\
&=(1+o_{t,d,L}(1) )\beta_{\infty}\prod_p\beta_p\int_K\prod_{i=1}^t\frac{\mathbf{1}_{\psi_i(x) > 2}}{\log\psi_i(x)}\mathrm{d}x+o_{d,t,L}\left(\frac{N^d}{\log^tN}\right) \\
&=(1+o_{t,d,L}(1) )\beta_{\infty}\prod_p\beta_p\frac{1}{\log^tN}+o_{d,t,L}\left(\frac{N^d}{\log^tN}\right)\end{align}

等も言えます。

これはハーディ・リトルウッド予想およびディクソンの予想を両方含みd > 1の場合も扱えている極めて一般的な予想であり、非常に自然な形をしています。

具体例として、(a,b)=1, a+b\equiv 1 \pmod{2}なるa,bに対するd=1, t=2, \psi_1(n)=n, \psi_2(n)=an+b, K=[-N,N]の場合を考えてみましょう。n, an+b > 0の条件はn > \max\{-b/a,0\}なので、\beta_{\infty} \sim 1 \ (N \to \infty)です。pを素数として、p \nmid n(an+b)なるn \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}に対しては定義から\Lambda_p(n)\Lambda_p(an+b)=\frac{p^2}{(p-1)^2}であり、それ以外では値は0になります。n=1,2,\dots, p-1のうちp\nmid an+bなるものの個数\gamma_pが求まれば、

\displaystyle \beta_p=\frac{p^2}{(p-1)^2}\times \frac{\gamma_p}{p}

\beta_pが計算できます。p=2の場合はn=1の一つ(a+b\equiv 1\pmod{2}であった)なので\beta_2=2です。p\geq 3としましょう。p \mid aのときは(a,b)=1よりp\nmid bなのでp-1個全部OK。p\mid bのときもp\nmid ap\mid anp\mid nを意味するのでp-1個。p\nmid abであればan+b\equiv 0 \pmod{p}が解を一個持ってしまうため、\gamma_p=p-2となります。まとめると、高橋予想STは一般化ハーディ・リトルウッド予想の非常に特別な一例であることがわかりました。

さて、グリーン・タオは何をやったかという話ですが、彼らは\Psi \ (t\geq 2)に複雑度という量を定義しています。定義はややこしいので注釈で*2

複雑度が0であれば算術級数の素数定理の範疇で解けています。d=1, t\geq 2の場合が双子素数予想を始めとした多数の古典的未解決問題と関連して興味がありますが、このケースでは複雑度が\inftyとなっていて到達不可能に難しいです(グリーン・タオは张益唐の登場より前の話)。しかしながら、グリーン・タオは複雑度が有限なケースであれば一般化ハーディ・リトルウッド予想に攻め筋があるということを見出しました。例えば、\Psi(n_1, n_2)=(n_1, n_1+n_2, \dots, n_1+(k-1)n_2)は複雑度がk-2なので、複雑度有限な場合の一般化ハーディ・リトルウッド予想が解決すればグリーン・タオの定理は精密化されて次のような漸近挙動までわかってしまうのです: p_1 < p_2 < \cdots < p_k \leq Nで、長さk\geq 2の等差数列をなすような素数の組(p_1, \dots, p_k)の個数はN \to \infty

\displaystyle \frac{1}{2(k-1)}\prod_{p\leq k}\frac{1}{p}\left(\frac{p}{p-1}\right)^{k-1}\prod_{p > k}\left(1-\frac{k-1}{p}\right)\left(\frac{p}{p-1}\right)^{k-1}\frac{N^2}{\log^kN} \tag{2}

に漸近する。

彼らの主定理は次のように述べられます:

Green-Tao (2010)の主定理 s \geq 1に対して\mathrm{GI}(s)と名付けられる予想(the inverse Gowers-norm conjecture)および\mathrm{MN}(s)と名付けられる予想(the Möbius and nilsequences conjecture)があるが、これらが成立すると仮定する。このとき、複雑度がs以下の任意のアフィン線形形式系\Psiに対する一般化ハーディ・リトルウッド予想は正しい。

つまり、他の重要と考えられている予想に帰着されてしまったのです!\mathrm{GI}(s)および\mathrm{MN}(s)の主張をここで紹介することは割愛させていただきますが、彼らは

We expect both GI(s) and MN(s) to be settled shortly for general s, and hope to report on progress on both of these conjectures in the not-too-distant future. We therefore expect to settle the generalised Hardy-Littlewood conjecture entirely in the finite complexity case, or in other words we should be able to remove the last hypothesis in Corollary 1.7. The only unresolved case of the generalised Hardy-Littlewood conjecture would then be the presumably very hard “binary” or “infinite complexity” case in which two or more of the forms are affinely related.

と書いており(!)、注釈には

Note added in April 2008: in a recent preprint, the authors have fully resolved the MN(s) conjecture for every s.

と書いています (!! )。これは実際に


B. Green and T. Tao, The Möbius function is strongly orthogonal to nilsequences, Ann. of Math. (2) 175, no. 2, (2012), 541–566.


として出版されています。ということは複雑度有限な場合の一般化ハーディ・リトルウッド予想は一種類の予想\mathrm{GI}(s)に帰着されたわけですが、

私はとある論文を発見してしまいました。


B. Green, T. Tao, T. Ziegler, An inverse theorem for the Gowers U_{s+1}[N]-norm, Ann. of Math. (2) 176, no. 2, (2012), 1231–1372.


\mathrm{GI}(s)も解決していたのです(!!!)。つまり、複雑度有限な場合の一般化ハーディ・リトルウッド予想は完全解決しているようです*3


ひえ〜〜〜〜。(2)も定理ってわけだ。グリーンとタオすごすぎへん?

*1:ウルトラ三つ子素数について、ディクソンの予想の条件を普通に言い換えると「((a,b)=1, (c,d)=1)かつ(a+b\equiv c+d\equiv 1\pmod{2} )かつ(「a+b\equiv 2c+d\equiv 0\pmod{3}またはc+d\equiv 2a+b\equiv 0 \pmod{3}」ではない)になる気がしますが、今の場合、「a+b\equiv 2c+d\equiv 0\pmod{3}またはc+d\equiv 2a+b\equiv 0 \pmod{3}」と「ac\equiv -bd \not\equiv 0 \pmod{3}」は同値になっています。

*2:1\leq i \leq t, s \geq 0とする。t-1個のアフィン線形形式の集合A_iA_i:=\{\psi_j \mid j \in [t]\setminus\{i\}\}とする。A_iが、その類に属するアフィン線形形式が\mathbb{Q}上アフィン線形に生成する空間に\psi_iが属さないようなA_iの元からなる類s+1個によって被覆されるとき、\Psii-複雑度が高々sであるという。全ての1\leq i \leq tに対して\Psii-複雑度が高々sであるような最小のs\Psiの複雑度と定義する。また、そのようなsがない場合は複雑度\inftyとする。

*3:三つの論文を合わせると266ページ!