Q&ABC (その４)

せきゅーん: 例えば、 $c > 2$ が平方無縁(square-free)な場合は必ず $(4)$ が成り立つ。 $x$ 以下の平方無縁な正整数全体のなす集合を $\mathcal{Q}(x)$ で表せば

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{\mathcal{Q}(x)}{x}=\frac{6}{\pi^2}$

だ。証明が気になればここを見ればいい。

ラムネ: でも、それは自明な場合だし、 $6/\pi^2$ で $0.6$ よりちょっと大きいぐらいで、 $40$ %近くは非自明な場合が残っているじゃないか。それでは全く納得がいかない。

せきゅーん: では、何が言えればいい？

ラムネ: もし成り立つのであれば、ABC-hitを与えるようなABCトリプルの密度が $0$ であることが言えたらいいな。そのようなABCトリプルのことを加藤先生は「例外的ABCトリプル」と呼んで

ABC予想とは、この例外的ABCトリプルが「とても少ない」という状況を、数学的に定式化することによって立てられた予想です。

と述べておられる。「とても少ないという状況の数学的定式化」をABC予想は「 $(1+\varepsilon)$ 乗した上での有限性」で実行しているわけだよね。でもさ、「とても少ないという状況の数学的定式化」には「有限性」しかあり得ないわけではないだろうし、「密度が $0$ 」だったら十分「とても少ないという状況の数学的定式化」には成功しているんじゃないの？むしろ $\varepsilon$ なんて持ち出さずにABC予想を定式化できるのでは？

せきゅーん: それはかなり筋がいい考え方に聞こえる。つまり、

$\displaystyle \mathrm{rad}(abc) < c$

が成り立つようなABCトリプルの密度は $0$ という形でもABC予想-likeな予想は定式化できるんじゃないか、それが言えれば十分不思議なんじゃないかってことだな。

ラムネ: うん。

せきゅーん: 実は昔それについては考えたり調べたことがある。さっきの平方無縁の場合と同じように例外的ABCトリプルに分解できないような $c$ を主役に見た密度が $0$ だということが証明できるらしい。実際、この論文の定理4ではもっと強いことが主張されている。ただ、引用している文献を見ると宣言しかしていなくて証明は書いてなかった。

でも、別の密度の測り方だったら割と簡単に例外的なABCトリプルの密度が $0$ であることを証明できる。その議論だけでも数値データだけよりは例外的である事を納得できるようになるし、一方でその現象はABC予想ほど深くないこともわかる。

ラムネ: 証明が書いてないというのはもどかしいな。でも、その別の測り方による密度 $0$ の議論はとても気になる。

せきゅーん: 次のことが簡単に証明できるんだ。

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\#\{(a,b) \mid a,b \leq x, (a,b)=1, \mathrm{rad}(ab) \leq x\}}{\#\{(a,b) \mid a, b \leq x, (a,b)=1\}}=0. \tag{5}$

ラムネ: $a,b$ は正整数で考えていて、 $(a,b)=1$ っていうのは $a$ と $b$ が互いに素を意味するんだね。えーっと、この式の意味するところは大雑把に見て「互いに素な $x$ 以下の2つの正整数のペアが与えられたときに、殆どの場合は不等式 $\mathrm{rad}(ab) \leq x$ が成立しない」ということだね。

せきゅーん: $c$ が与えられて $c=a+b$ と分解するんじゃなくて、互いに素な $(a,b)$ を持ってきたときに「 $(a,b,a+b)$ は例外的ABCトリプルですか？」と問いかけるわけだ。それで、実は殆どの場合 $\mathrm{rad}(ab) > x$ が成り立ってしまっていて、このときは

$\displaystyle c=a+b \leq 2x < 2\mathrm{rad}(ab)\leq \mathrm{rad}(abc)$

が成り立つ。つまり、 $(a,b,c)$ は $(4)$ を満たす。

$(5)$ ではABC-hitの不等式そのものではなくて、 $\mathrm{rad}(ab) \leq x$ を満たすものが少ないということまで言えていて、そこから例外的ABCトリプルがもっと少ないということが上の議論から従う。つまり、 $a+b=c$ という加法構造を相手にするまでもなく密度 $0$ がより単純な理由で保障できてしまうということなんだ。

今から証明を見るけれど、根基をとった結果が与えられた(平方無縁な)正整数になるようなものの個数はとても少ないということしか使わないし、それは素因数分解の一意性から単純なオイラー積の議論で言えてしまう。

ラムネ: 早速、具体的に証明を見たい。

せきゅーん: 具体的には次の補題を示す: 任意の $\delta > 0$ に対して $c_{\delta}>0$ が存在して、勝手に選んだ正整数 $r,x$ に対して

$\mathrm{rad}(a)=r, \qquad a\leq x$

を満たすような正整数 $a$ の個数は高々 $c_{\delta}x^{\delta}$ 個である。

ラムネ: ふむ。さっき言ってくれたことを数式で表現しましたという感じになっている。「とても少ない」というのはオーダーを $x^{o(1)}$ にできるという意味だったんだな。

せきゅーん: $r$ が $1$ より大きい平方因子を持つ場合は解は存在しないから自明に成り立つ。よって、以下は $r$ は平方無縁としよう。このとき、 $a\leq x$ という条件抜きに、

$\displaystyle \sum_{\substack{a\in \mathbb{Z}_{ > 0} \\ \mathrm{rad}(a)=r}}\frac{1}{a^{\delta}}=\prod_{p\mid r}\left(\frac{1}{p^{\delta}}+\frac{1}{p^{2\delta}}+\frac{1}{p^{3\delta}}+\cdots\right)=\prod_{p\mid r}\frac{p^{-\delta}}{1-p^{-\delta}}$

が成り立つ。

ラムネ: $p\mid r$ は $r$ の素因数 $p$ をわたるという意味だね。これがさっき言っていたオイラー積の議論だ。

せきゅーん: これによって、評価したい個数について

$\displaystyle \sum_{\substack{a\leq x \\ \mathrm{rad}(a)=r}}1\leq \sum_{\substack{a\leq x \\ \mathrm{rad}(a)=r}}\left(\frac{x}{a}\right)^{\delta}\leq x^{\delta}\sum_{\substack{a\in \mathbb{Z}_{ > 0} \\ \mathrm{rad}(a)=r}}\frac{1}{a^{\delta}}=x^{\delta}\prod_{p\mid r}\frac{p^{-\delta}}{1-p^{-\delta}}$

を得る。 $\frac{p^{-\delta}}{1-p^{-\delta}} \leq 1$ と $p > 2^{\frac{1}{\delta}}$ が同値なので、

$\displaystyle c_{\delta}:=\prod_{p\leq 2^{\frac{1}{\delta}}}\frac{p^{-\delta}}{1-p^{-\delta}}$

とおけば、

$\displaystyle \sum_{\substack{a\leq x \\ \mathrm{rad}(a)=r}}1\leq c_{\delta}x^{\delta}$

となって補題の証明が完了する。

ラムネ: 完了した。

せきゅーん: これから

$\#\{(a,b) \mid a,b \leq x, (a,b)=1, \mathrm{rad}(ab) \leq x\}$

をカウンティングしたい。そのために、 $r_1r_2\leq x$ となるような正整数の組 $(r_1,r_2)$ を考える。先にこのような組の個数をカウントしよう。

$r_1\leq e^i,\quad r_2\leq e^j,\quad r_1r_2\leq e^{i+j}\leq x$

と非負整数の組 $(i,j)$ を経由してカウントすることにする。 $i+j\leq \log x$ を満たすような $(i,j)$ の個数は大雑把に見積もって $(\log x)^2$ 個以下だ。 $x$ はそれなりに大きいと考えて議論してよいことに一応注意しておく。

そのような $(i,j)$ を固定したときには $r_1\leq e^i$ を満たす $r_1$ は高々 $e^i$ 個、 $r_2\leq e^j$ を満たす $r_2$ は高々 $e^j$ 個。つまり、組 $(r_1,r_2)$ の個数は高々 $e^ie^j=e^{i+j}\leq x$ 個。こうして、 $r_1r_2\leq x$ となるような $(r_1,r_2)$ は高々 $x(\log x)^2$ 個であることがわかった。

ラムネ: 「高々 $X$ 個」って表現、 $X$ が整数じゃないときにも使うよね。

せきゅーん: それを認めてくれた方が便利だ。さて、 $r_1r_2\leq x$ となるような正整数の組 $(r_1,r_2)$ を1組とって固定する。 $\mathrm{rad}(ab)\leq x$ なる互いに素な $(a,b)$ をカウンティングしたいわけだけど、今の場合 $\mathrm{rad}(ab)= \mathrm{rad}(a)\mathrm{rad}(b)$ だから、 $\mathrm{rad}(a)=r_1$ , $\mathrm{rad}(b)=r_2$ となるような $(a,b)$ をカウントする。

ラムネ: その後、 $(r_1,r_2)$ を動かせばいいんだね。

せきゅーん: ここで、さっきの補題が活躍する。十分小さい $\delta > 0$ を任意にとろう。このとき、 $\mathrm{rad}(a)=r_1$ , $\mathrm{rad}(b)=r_2$ となるような $a,b$ はそれぞれ高々 $c_{\delta}x^{\delta}$ 個しかない。よって、組 $(a,b)$ は高々 $c_{\delta}^2x^{2\delta}$ 個だ。