Q&ABC (おまけ)

せきゅーん: やあ、久しぶり。

ラムネ: この間、ABC予想から非ヴィーフェリッヒ素数の無限性を導出するシルヴァーマンとは別の方法があると言っていたよね。今日はそれを教えて欲しい。

せきゅーん: 了解。その方法は「Mollin-Walsh予想」と関係している。予想の主張は「3連続するパワフル数は存在しない」というものだ。未解決問題である。

ラムネ: へえ。パワフル数というのは素因数分解したときの指数が全て $2$ 以上となるような自然数だね。パワフル数 - INTEGERS

せきゅーん: シルヴァーマン(1988年)よりも前の1986年にグランヴィルが

Mollin-Walsh予想 $\Longrightarrow$ 非ヴィーフェリッヒ素数の無限性

を証明している。

ラムネ: そんな仕事があるんだね。ABC予想に限らず他のどんな予想から導出されるかを考えるのも確かに興味深い。

せきゅーん: 簡単なところでいくと

メルセンヌ素数の無限性 $\Longrightarrow$ 非ヴィーフェリッヒ素数の無限性

が言えたりもする。先にこちらを見てみよう。1つ補題を証明したい。正整数 $m$ と奇素数 $p$ が条件

$2^m\equiv 1\pmod{p},\quad 2^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}$

を満たすならば

$2^m\equiv 1 \pmod{p^2}$

が成り立つ。これはヴィーフェリッヒ素数の基本性質と言える。

ラムネ: それは証明できそうだからやってみていい？とりあえず $g$ を $m$ と $p-1$ の最大公約数 $g:=(m,p-1)$ とおくと、ベズーの等式によって $2^g\equiv 1 \pmod{p}$ なので、 $2^g=1+ap$ と整数 $a$ を用いて表示できる。これを利用すれば

$2^{p-1}=(2^g)^{\frac{p-1}{g}}=(1+ap)^{\frac{p-1}{g}}\equiv 1+a\cdot\frac{p-1}{g}\cdot p\pmod{p^2}$

が得られるので、 $2^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}$ となるためには $p\mid a$ でなければならないことが判明する。すると、 $2^g\equiv 1\pmod{p^2}$ が帰結されるので、特に $2^m\equiv 1 \pmod{p^2}$ が成り立つ。

せきゅーん: あれベズーの等式っていうんだ。

さて、 $p$ をメルセンヌ素数とする。すると、ある素数 $l$ が存在して $p=2^l-1$ と書ける。

ラムネ: メルセンヌ素数の定義そのものだね。

せきゅーん: この $p$ が非ヴィーフェリッヒ素数であることを示したい。もし、ヴィーフェリッヒ素数であれば、 $2^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}$ が成り立つので、先ほど示した補題によって $2^l\equiv 1 \pmod{p^2}$ となってしまう。それは $p$ が $p^2$ で割り切れると言っていてあり得ない。

ラムネ: なるほど〜。メルセンヌ素数は必ず非ヴィーフェリッヒ素数なんだね。でも、実際は殆どの非ヴィーフェリッヒ素数がメルセンヌ素数ではないだろうから、メルセンヌ素数の無限性なんていう超絶ゲキムズ未解決問題を使わずに導出できた方が嬉しいね。

せきゅーん: そうだね。それでは次にグランヴィルの定理を示そう。つまり、Mollin-Walsh予想から非ヴィーフェリッヒ素数の無限性を証明しよう。

非ヴィーフェリッヒ素数が有限個しか存在しなかったと仮定し、最大の非ヴィーフェリッヒ素数を $p_0$ とおく。すると、 $p > p_0$ なる素数 $p$ は全てヴィーフェリッヒ素数だ。うへー、想像するだけでヤバすぎる世界だ。

ラムネ: うへー。

せきゅーん: そして、全ての $p_0$ 以下の素数を掛けた整数を $t$ とおく。この $t$ に対して整数 $A$ を

$\displaystyle A:=2^{t\varphi(t)}$

と定義する。ここで、 $\varphi(t)$ はオイラーのトーシェント関数だ。

ラムネ: もし存在したとすると $A$ は破茶滅茶にでかいね。

せきゅーん: この破茶滅茶にでかい整数 $A$ について、著しい性質が成り立つ。それは、

全ての正整数 $n$ に対して $A^n-1$ はパワフル数である。

という性質だ。 $A^n-1$ の全ての素因数 $p$ についてその指数が $2$ 以上、すなわち

$\displaystyle A^n\equiv 1\pmod{p^2}$

であることを示せばよい。 $A^n-1$ は奇数だから、 $p$ は奇素数だ。まず、 $p \leq p_0$ の場合を考えよう。このとき、 $t$ の定義とトーシェント関数の乗法性から $p(p-1)\mid t\varphi(t)$ が成り立つ。よって、オイラーの定理から $2^{p(p-1)}\equiv 1\pmod{p^2}$ なので、 $A$ の定義から $A\equiv 1\pmod{p^2}$ が成り立つ。特に、 $A^n\equiv 1\pmod{p^2}$ だ。

次に $p > p_0$ の場合を考えよう。このとき $p$ はヴィーフェリッヒ素数なので $2^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}$ が成り立つ。更に、 $p$ が $A^n-1$ の素因数であるという仮定から $2^{nt\varphi(t)}\equiv 1\pmod{p}$ が成り立つ。よって、先ほどの補題から

$A^n=2^{nt\varphi(t)}\equiv 1\pmod{p^2}$

と所望の合同式が得られる。これで、 $A^n-1$ がパワフル数であることが証明された。

ラムネ: $A$ がうまく構成されているなあ。

せきゅーん: Mollin-Walsh予想が正しいと仮定しよう。今示した定理から特に $A-1$ と $A^2-1=(A-1)(A+1)$ がパワフル数である。 $A-1$ と $A+1$ の最大公約数は $1$ または $2$ であるが、 $A$ が偶数なので $A-1$ と $A+1$ は互いに素であることがわかる。よって、 $A+1$ もパワフル数でなければならない。また、自明に $A$ はパワフル数である。こうして、

$A-1,\quad A, \quad A+1$

と3連続パワフル数が得られてMollin-Walsh予想に矛盾する。すなわち、非ヴィーフェリッヒ素数は無数に存在しなければならない。

ラムネ: 証明された！素晴らしい！！

ところで、これとABC予想が何か関係してくるの？

せきゅーん: もし、

ABC予想 $\Longrightarrow$ Mollin-Walsh予想

が言えればグランヴィルの定理と合わせてシルヴァーマンの定理の別証明が得られることになる。

ABC予想 $\Longrightarrow$ Mollin-Walsh予想 $\Longrightarrow$ 非ヴィーフェリッヒ素数の無限性

という流れだ。これについてはシルヴァーマン自身が言及しており、「ABC予想 $\Longrightarrow$ Mollin-Walsh予想」が言えるかは知られていないということだ。

ラムネ: じゃあダメじゃん。

せきゅーん: ところがだ。実は次のような論理の流れなら実現できる。

ABC予想 $\Longrightarrow$ 弱いMollin-Walsh予想 $\Longrightarrow$ 非ヴィーフェリッヒ素数の無限性

ラムネ: 弱いMollin-Walsh予想？

せきゅーん: 3連続するパワフル数が一切存在しないことを主張するのがMollin-Walsh予想であったが、弱いMollin-Walsh予想は「3連続するパワフル数の組は高々有限個しか存在しない」ことを主張する予想だ。まず、

弱いMollin-Walsh予想 $\Longrightarrow$ 非ヴィーフェリッヒ素数の無限性

を証明しよう。これは簡単で、グランヴィルの証明を完全に真似た上で、 $A^n-1$ , $A^{2n}-1=(A^n-1)(A^n+1)$ がパワフル数で $A^n-1$ と $A^n+1$ は互いに素だから $A^n+1$ もパワフル数、従って

$A^n-1,\quad A^n, \quad A^n+1$

は3連続パワフル数となる。 $n$ は何でもよいので3連続パワフル数の組は無数に存在することとなり、弱いMollin-Walsh予想に矛盾するという寸法だ。

ラムネ: 確かに。Mollin-Walsh予想は弱い版だけで十分だね。

せきゅーん: そして、弱いMollin-Walsh予想だったらABC予想から導出できる。 $a\geq 2$ に対する $(a-1,a,a+1)$ を3連続パワフル数と仮定する。このとき、 $(1,a^2-1,a^2)$ というABCトリプルを作ることができる。

ラムネ: $a=1$ ではないから $a^2-1$ は正整数だし、互いに素の仮定は明らかに成り立っているね。

せきゅーん: $\mathrm{rad}(1\cdot (a^2-1)\cdot a^2)$ を計算しよう。一般にパワフル数 $m$ に対して $\mathrm{rad}(m)\leq \sqrt{m}$ が成り立つこと、 $(a^2-1)a$ がパワフル数であることに注意すれば

$\displaystyle \mathrm{rad}(1\cdot (a^2-1)\cdot a^2)=\mathrm{rad}( (a^2-1)a)\leq \sqrt{(a^2-1)a} < a^{\frac{3}{2}}$

が成り立つので、

$\mathrm{rad}(1\cdot (a^2-1)\cdot a^2)^{1+\varepsilon} < a^{\frac{3}{2}(1+\varepsilon)} \leq a^2$

が $\varepsilon \leq 1/3$ の場合に成立する。つまり、例えば $\varepsilon=1/3$ に対するABC予想を適用すれば、このような $a$ は高々有限個しか存在しないため、3連続パワフル数の組は有限個しか存在せず、弱いMollin-Walsh予想が成立することになる。

ラムネ: これで、ABC予想から非ヴィーフェリッヒ素数の無限性が証明された。

せきゅーん: ただ、シルヴァーマンの方法は個数評価まで与えている点は忘れてはならない。