インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

クイズ

一橋大学の数学の第1問は口ずさみたくなる文ですね。

integers.hatenablog.com

のEratosthenesの篩を f(x)=x^{\frac{1}{3}}およびx=10^3として適用すると、

\begin{align}
\pi(1000)&\leq \pi(10)+2^{\pi(10)}+10^3\prod_{p\leq 10}\left(1-\frac{1}{p}\right)\\
&=4+2^4+1000\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{4}{5}\times \frac{6}{7}\\
&=\frac{1740}{7} < 249\end{align}

が得られます。




数列クイズ♪

2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, \dots



問題 正の整数であって、十進法表記したときに9が現れないようなものを考える。このような整数のうち素数であるものは無限に存在することを証明せよ。


(ヒント:ONE PIECEのキャラクター 追撃の○○○○○)



問題 非負整数nに対して \displaystyle a_n=\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{n+1}とおく。正の整数Nに対して

\displaystyle a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_Nx^N

有理数体上既約な多項式であることを証明して欲しいです。