インテジャーズ

インテジャーズ

数、特に整数に関する記事。

局所有限性に関する補題

定義 位相空間Xの部分集合族\mathcal{F}局所有限であるとは、Xの各点が高々有限個の\mathcal{F}の元としか共通部分を持たないような近傍を持つときにいう。

補題1 Xを位相空間、\mathcal{F}Xの局所有限な部分集合族とし、\mathcal{F}の元は全て閉集合であるとする。このとき、\displaystyle \bigcup_{F\in \mathcal{F}}Fも閉集合となる。

証明.O\displaystyle \bigcup_{F\in \mathcal{F}}Fの補集合としてOが開集合であることを示す。O \neq \emptysetのときに示せばよい。x \in Oを任意に取る。\mathcal{F}が局所有限なので、x \in Vであり、Vと共通部分を持つ\mathcal{F}の元が有限個(それらをF_1, \dots, F_kとする)であるような開集合Vが存在する。\displaystyle U:=\bigcap_{i=1}^k(X\setminus F_i) \cap Vとおくと、これは開集合でx \in Uであり、\displaystyle U \cap \bigcup_{F \in \mathcal{F}}F=\emptysetなのでU \subset Oを満たす。よって、Oは開集合である。 Q.E.D.

補題2 Hausdorff位相群の任意の離散部分群は閉部分群である。

証明. HGの離散部分群とする。\displaystyle H=\bigcup_{h \in H}\{h\}であるが、任意のh \in Hに対して\{h\}は閉集合(GはHausdorff)なので、\displaystyle \mathcal{F}:=\{\{h\}\mid h\in H\}が局所有限であることを示せば補題1よりHGの閉部分群となる。よって、\mathcal{F}が局所有限であることを示そう。Gの単位元をeとする。\mathcal{F}が局所有限でないと仮定して矛盾を導く。すなわち、あるg \in Gが存在してgの任意の近傍が\mathcal{F}の無限個の元と共通部分を持つ(すなわち、Hの元を無数に含む)と仮定する。HGの離散部分群であることからU\cap H=\{e\}を満たすようなGの開部分集合Uが存在する。更にGが位相群であることからe \in V, V^{-1}V \subset Uを満たす開集合Vが存在する。gVgの近傍なので、仮定よりh_1, h_2 \in Hが存在してh_1, h_2 \in gVおよびh_1 \neq h_2が成り立つ。すると、h_1^{-1}h_2 \in V^{-1}V \subset Uなので、e \neq h_1^{-1}h_2 \in U \cap Hとなり、Uの取り方に矛盾する。 Q.E.D.

当然、Hausdorffという仮定の部分はT_0でもよいです。ちなみにT_0位相群はHausdorffです。