トーシェント関数に関する漸近評価

この記事は準備の記事です。

$\mu (n)$ , $\varphi (n)$ , $\zeta (s)$ をそれぞれMöbius関数、Eulerのトーシェント関数、Riemannゼータ関数とします：

メビウス関数 - インテジャーズ
 オイラーのトーシェント関数とφ(R(n))=n - INTEGERS
リーマンゼータ関数 - INTEGERS

補題１ $s$ を $\mathrm{Re}(s) > 1$ を満たすような複素数とする。このとき、

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}$

が成り立つ。

証明. Euler積表示およびMöbius関数の定義により

$\displaystyle \frac{1}{\zeta (s)}=\prod_p(1-p^{-s}) = \prod_p\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mu (p^k)}{p^{ks}}$

と書くことができるが、Möbius関数は乗法的関数であるから素因数分解の一意性によって

$\displaystyle \prod_p\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mu (p^k)}{p^{ks}}　=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{n^s}$

と変形できる。 Q.E.D.

補題２ $x \to \infty$ において次の漸近公式が成立する：

$\displaystyle \sum_{n \leq x}\frac{\varphi(n)}{n}=\frac{6}{\pi^2}x+O(\log x).$

証明. Möbiusの反転公式によって $\displaystyle \varphi (n)=\sum_{d \mid n}\mu (d)\frac{n}{d}$ が成り立つため、

$\begin{equation}\begin{split} \sum_{n \leq x}\frac{\varphi (n)}{n} &= \sum_{n \leq x}\sum_{d \mid n}\frac{\mu (d)}{d} \\ &=\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d}\left[ \frac{x}{d} \right] \\ &= x\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d^2}-\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d}\left\{ \frac{x}{d} \right\}\end{split}\end{equation}$

と計算できる。

$\displaystyle x\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d^2} = x\sum_{d=1}^{\infty}\frac{\mu (d)}{d^2}-x\sum_{d > x}\frac{\mu (d)}{d^2}$

の第一項は補題１によって $1/\zeta (2)$ に等しく、バーセル問題によって $6/\pi^2$ に等しい。第二項は

$\displaystyle x\left| \sum_{d > x}\frac{\mu (d)}{d^2} \right| \leq x\sum_{d > x}\frac{1}{d^2} \leq x\int_x^{\infty}\frac{dt}{t^2}=O(1)$

と評価できる。また、アーベルの総和法 - INTEGERSの漸近公式３より

$\displaystyle \left| \sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d}\left\{ \frac{x}{d} \right\} \right| \leq \sum_{d \leq x}\frac{1}{d} = \log x + O(1).$

以上により証明が完了する。 Q.E.D.

補題３ $\delta > 0$ を任意に固定する。このとき、

$\displaystyle \#\{n \leq x \mid \varphi (n) \geq \delta n \} \geq \left( \frac{6}{\pi^2} -\delta \right) x + O(\log x)$

が成り立つ。

証明.

$\displaystyle \sum_{\substack{n \leq x \\ \varphi (n) \geq \delta n}} \frac{\varphi (n)}{n} \leq \sum_{\substack{n \leq x \\ \varphi (n) \geq \delta n}}1 = \#\{n \leq x \mid \varphi (n) \geq \delta n \}$

および

$\displaystyle \sum_{\substack{n \leq x \\ \varphi (n) < \delta n}} \frac{\varphi(n)}{n} \leq \sum_{\substack{n \leq x \\ \varphi (n) < \delta n}}\delta \leq \delta x$

が成り立つので、足し合わせて補題２を適用すればよい。 Q.E.D.

$\zeta (1) = \infty$ より

$\displaystyle \liminf_{n \to \infty}\frac{\varphi (n)}{n} = 0$

がわかりますが、 $\delta$ が $\displaystyle 0 < \delta < \frac{6}{\pi^2}$ の範囲にあれば $x$ 以下の $\displaystyle \frac{\varphi (n)}{n} \geq \delta$ を満たすような $n$ の個数は $x$ が十分大きいとある程度の割合だけ保証できることが補題３よりわかります。

なお、この下極限の観点から再度 $1$ の原始 $n$ 乗根の一様分布性を観賞すると美しく思えます：
integers.hatenablog.com