ABC予想 - INTEGERS

この記事ではABC予想とは何なのかを解説します。

根基

$0$ でない整数 $N$ の根基 $\mathrm{rad}(N)$ を $N$ の素因数の積として定義します。すなわち、

$\displaystyle \mathrm{rad}(N) := \prod_{p \mid N}p$

です( $p$ は素数を表す)。ただし、 $\mathrm{rad}(\pm 1) = 1$ とします。定義から根基は必ず無平方(square-free)です。

$ABC$ トリプル

自然数の三つ組 $(a, b, c)$ (ただし、 $a < b < c$ )がABCトリプルであるとは、 $a, b, c$ が互いに素であって

$a+b=c$

が成り立つときに言います(上記関係式から $(a, b, c)$ はどの二つをとっても互いに素であることがわかります)。ここで、次の問題を考えます：

ABCトリプル $(a, b, c)$ に対して $c < \mathrm{rad}(abc)$ ―（＊）が成り立つか？

テキトーにABCトリプルを選ぶと結構成り立ちます。例えば、 $(8, 17, 25)$ に対しては

$25 < \mathrm{rad}(8\cdot 17\cdot 25) = 170$

です。しかしながら、反例も見つかります。 $(1, 8, 9)$ に対しては

$\displaystyle 9 > \mathrm{rad}(1\cdot 8\cdot 9) = 6$

です。しかも、無数に反例があることが分かります：

例 $n$ を自然数とする。このとき、ABCトリプル $(1, 3^{2^n}-1, 3^{2^n})$ は不等式（＊）を満たさない。

証明. $\mathrm{ord}_2(3^{2^n}-1) \geq n+2$ が容易に確かめられるので(cf. 指数持ち上げ補題 - INTEGERS)、

$\displaystyle \mathrm{rad}(1\cdot (3^{2^n}-1)\cdot 3^{2^n}) \leq \frac{3^{2^n}-1}{2^{n+1}}\cdot 3 < 3^{2^n}$

と評価できる。Q.E.D.

ABC予想の主張

任意に正の数 $\varepsilon > 0$ をとったとき、（＊）の代わりに

ABCトリプル $(a, b, c)$ に対して $c < \mathrm{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$ ― $(\varepsilon)$ が成り立つか？

を考えると反例が有限個になるであろうという予想がABC予想です。

ABC予想 (Masser and Oesterle) $\varepsilon > 0$ を任意にとる。このとき、

$\displaystyle c < \mathrm{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$

が有限個の例外を除くABCトリプル $(a, b, c)$ に対して成立する。

ABC予想は次のような形に言い換えられます：

ABC予想の同値形① $\varepsilon > 0$ を任意にとる。このとき、 $\varepsilon$ のみに依存する正定数 $C_{\varepsilon}$ が存在して、

$\displaystyle c < C_{\varepsilon}\mathrm{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$

が全てのABCトリプル $(a, b, c)$ に対して成立する。

応用上はこちらの方が取り扱いやすかったりします。

同値であることの証明. ABC予想 $\Longrightarrow$ 同値形①は有限個の例外から $C_{\varepsilon}$ を定めればよいので明らか。逆を示す。 $\varepsilon > 0$ を任意にとったとき、 $\varepsilon > \varepsilon' > 0$ を満たす $\varepsilon'$ を取る。 $E$ を $(\varepsilon)$ を満たさないようなABCトリプル全体のなす集合とする。 $E$ が有限集合であることを示せばよい。 $E$ の元 $(a, b, c)$ を取ったとき、 $\mathrm{rad}(abc)^{1+\varepsilon}\leq c$ が成り立つので、 $\mathrm{rad}(abc)^{(1+\varepsilon) (1+\varepsilon')} \leq c^{(1+\varepsilon')}$ が得られる。一方、 $\varepsilon'$ に対する同値形①より $c < C_{\varepsilon'}\mathrm{rad}(abc)^{1+\varepsilon'}$ が成り立つので、 $c^{1+\varepsilon} < C_{\varepsilon'}^{1+\varepsilon}\mathrm{rad}(abc)^{(1+\varepsilon)(1+\varepsilon')}$ が得られる。合わせると、 $c^{1+\varepsilon} < C_{\varepsilon'}^{1+\varepsilon}c^{1+\varepsilon'}$ となって、 $c^{\varepsilon -\varepsilon'} < C_{\varepsilon'}^{1+\varepsilon}$ なる評価が成り立つことがわかる。これを満たすような $c$ は高々有限個しか存在しないため、 $E$ も有限集合であることが従う。 Q.E.D.