14771：Wieferich-非Wilson素数

$14771$ は見つかっている唯一の非自明なWieferich-非Wilson素数です。

定義 $p$ を非Wilson素数とする。このとき、Wilson商 $w_p$ に対するFermat商

$\displaystyle FW_p:=q_p(w_p) = \frac{w_p^{p-1}-1}{p}$

は整数であり、Fermat-Wilson商という。また、

$FW_p\equiv 0 \pmod{p}$

が成り立つとき、 $p$ のことをWiferich-非Wilson素数という。

$2, 3$ は非Wilson素数ですが、 $w_2=w_3=1$ であるため、 $FW_2=FW_3=0$ です。すなわち、 $2, 3$ は定義からWieferich-非Wilson素数ですが、これは自明な場合と呼んで例外的に取り扱ってかまいません。

非自明なWieferich-非Wilson素数は実は一つだけ見つかっていて、それが $14771$ なのです。

「～商」から「～素数」の流れをいくつか紹介しました。素数に関する似たような合同式があれば他にもたくさん「～素数」という概念を作れそうです。

INTEGERS