この記事ではパワフル数の解説を行います。色々と面白い事実が知られていますが、最初の記事ということで、パワフル数の逆数の総和と連続するパワフル数の無限性を紹介します。
パワフル数とは
つまり、素因数分解したときの指数が全て以上のときにパワフル数と言います。上の定義から、
はパワフル数に入ります(便宜的にと言ってもよいです)。
powerfulという英単語の典型訳は「強力な」ですが、Golombが命名した"poerful number"を例えば「強力数」などと訳すと誤訳になると思われます。というのも、ここでいう"power"は「冪」という意味を表す数学用語だからです。Wikipediaでは「多冪数」という日本語訳を採用しているようですが、私は「パワフル数」と呼ぶほうが親しみやすい気がしました。
例えば、完全平方数は全てパワフル数なので、パワフル数が無数に存在することは明らかです。
無平方数(square-free integer)とは、より大きい完全平方数で割り切れないような整数のことをいいます。
証明. (表示可能性) のときは
とすればよい。
のとき、
を
と素因数分解する。ただし、
は偶数、
は奇数であるとする。このとき、
とすれば、
がパワフル数であることから
がわかる。よって、
とできる。
(一意性) をパワフル数として、
と書けたと仮定する(
は無平方)。
を示せばよい。そうでなかったと仮定する。このとき、
なる素因数
が存在すると仮定してよい。すると、
となって、
の左辺は
の指数が奇数であるが、右辺は偶数となって素因数分解の一意性に矛盾する。 Q.E.D.
パワフルパートはパワフル数です。
パワフル数の逆数の総和
パワフル数の逆数の総和は収束します。すなわち、分布の意味において、パワフル数と素数ではパワフル数の方が圧倒的に少ないことがわかります。収束値は具体的に計算でき、
に一致します。実際には次を証明すれば十分です(とすればよい):
Riemannゼータ関数およびそのEuler積表示についてはリーマンゼータ関数 - INTEGERSを参照してください。
証明. 補題より、
が成り立つことが分かる。ここで、は
で定まる数論的関数*1。は乗法的なので、
が成り立つ(は全ての素数をわたる)。従って、Euler積表示により
が得られ、証明が完了する。 Q.E.D.
連続するパワフル数の無限性
例えば、は連続するパワフル数です。実は連続するパワフル数が無数に存在することを比較的容易に証明できます。
証明. がパワフル数であることは明らか。
Pell方程式は無数に整数解をもつので、連続するパワフル数が無数に存在することがわかりました。例えば、
が成り立つので、連続するパワフル数
が手に入ります。
*1:Möbius関数の二乗になっているため、このように表記しています。 integers.hatenablog.com