Bell数に関するSun-Zagierの定理

$B_n$ をBell数とします。

Bell数に関する過去記事一覧:
52：ベル数 - INTEGERS
Bell数の母関数表示と第二種Stirling数 - INTEGERS
Bell数に関するHurst-Schultzの定理 - INTEGERS
pCrはpの倍数 - INTEGERS
Touchardの合同式 - INTEGERS

Zhi-Wei SunはBell数に関する次の興味深い事実を発見しました：

Z. W. Sunの予想 自然数 $m$ を固定し、 $p$ を $m$ を割り切らないような素数とする。このとき、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1}\frac{(-1)^kB_k}{m^k}$

は $p$ に依らずに或る整数と $\bmod{p}$ で合同であろう。例えば、

$\displaystyle \sum_{k=0}^{p-1}\frac{(-1)^kB_k}{6^k} \equiv -43 \pmod{p}, \ \ (p \neq 2, 3)$

$\displaystyle \sum_{k=0}^{p-1}\frac{(-1)^kB_k}{8^k} \equiv -1853 \pmod{p}, \ \ (p \neq 2)$

が成り立つ。

この事実は2011年にZ.W. SunとD. Zagierによって証明されました。

$D_n$ を完全順列とMontmort数 - INTEGERSで紹介したMontmort数とします。

$D_5=44$ と $D_7=1854$ をみると、先ほどの例と関係がありそうです。漸化式

$D_n=nD_{n-1}+(-1)^n$ ‐①

を思い出しておきます。これより、 $n$ が偶数(resp. 奇数)ならば $D_n$ は奇数(resp. 偶数)であることもわかります。

Sun-Zagierの定理 自然数 $m$ を固定し、 $p$ を $m$ を割り切らないような素数とする。このとき、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1}\frac{(-1)^kB_k}{m^k} \equiv (-1)^{m-1}D_{m-1} \pmod{p}$

が成立する。

証明. 任意の素数 $p$ を固定して、 $m$ を動かして証明する。 $p$ は奇素数としてよい。というのも、 $m$ が奇数のときには $D_{m-1}$ は奇数であるが、合同式の左辺は $-1/m$ であるから $p=2$ のときに主張が成立することが確認できる。次に、 $0 < m < p$ なる $m$ について証明すれば十分であることに注意する。これは合同式の両辺が $m\bmod{p}$ のみで決まることを確認すればよい。左辺については自然数 $n$ に対して

$(-m+np)^k \equiv (-m)^k \pmod{p}$

なのでOK。右辺についても、

$\displaystyle (-1)^nD_n = \sum_{r=0}^{\infty}(-1)^rn(n-1)\cdots (n-r+1)$

と表示すれば周期 $p$ で $\bmod{p}$ の値が決まることが分かる( $r$ が $n+1$ 以上の項は必ず $0$ になることに注意)。

そうして、 $0 < m < p$ なる $m$ に対しては数学的帰納法で証明する。合同式の左辺を $S_m$ とおこう。

$S_1 \equiv 1 \pmod{p}$
$mS_m \equiv S_1 - S_{m+1} \pmod{p}, \ \ (2\leq m \leq p-2)$

を示せばよい(これが示せれば、①より帰納法がまわること分かる)。

過去記事で示した事実として、

$B_0=1$
$\displaystyle B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}B_n$
$B_p \equiv 2 \pmod{p}$

があり、 $\displaystyle \binom{p-1}{k} \equiv (-1)^k \pmod{p}$ が成り立つので、

$\displaystyle S_1 = \sum_{k=1}^{p-1}(-1)^kB_k \equiv \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p-1}{k}B_k = B_p-B_0 \equiv 2-1 = 1\pmod{p}$

と $S_1 \equiv 1 \pmod{p}$ が証明できる。次に、Fermatの小定理および $k=n+1, r=n-k$ によって

$\begin{equation}\begin{split}-mS_m &= -m\sum_{k=1}^{p-1}\frac{B_k}{(-m)^k} \\ &\equiv \sum_{n=0}^{p-2}(-m)^{p-n-1}B_{n+1} \\ &= \sum_{n=0}^{p-2}(-m)^{p-n-1}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}B_k \\ &= \sum_{k=0}^{p-2}B_k\sum_{n=k}^{p-2}\binom{n}{k}(-m)^{p-n-1} \\ &= \sum_{k=0}^{p-2}B_k\sum_{r=0}^{p-k-2}\binom{k+r}{k}(-m)^{p-k-1-r} \pmod{p}\end{split}\end{equation}$

と変形できる。

$\displaystyle \binom{k+r}{r}(-1)^{p-1-r} \equiv \binom{p-k-1}{r} \pmod{p}$

が成り立つので、再びFermatの小定理によって

$\begin{equation}\begin{split}-mS_m &\equiv \sum_{k=0}^{p-2}(-1)^kB_k\sum_{k=0}^{p-k-2}\binom{p-k-1}{r}m^{p-k-1-r} \\ &= \sum_{k=0}^{p-2}(-1)^kB_k\left\{ (m+1)^{p-1-k}-1 \right\} \\ &\equiv S_{m+1}-S_1 \pmod{p} \end{split}\end{equation}$

と所望の合同式が証明された。 Q.E.D.

integers.hatenablog.com
で紹介した冪乗和の公式において、 $S_n(k)=1^n+\cdots +k^n$ が任意の自然数 $n$ に対して $k(k+1)$ で割り切れることを容易に確認することができます。このことから、 $p > n+1$ ならば、 $S_n(p-1) \equiv 0 \pmod{p}$ が分かります。

さて、 $k, n \in \{1, \dots, p-1\}$ としましょう。すると、上記観察から

$\displaystyle \sum_{m=1}^{p-1}(-m)^{n-k} \equiv \begin{cases}-1 & (n=k) \\ 0 & (n\neq k) \end{cases} \pmod{p}$

が得られます(負冪のときはFermatの小定理を使う)。よって、

$\displaystyle \sum_{m=1}^{p-1}m^n\sum_{k=1}^{p-1}\frac{B_k}{(-m)^k} = \sum_{k=1}^{p-1}(-1)^nB_k\sum_{m=1}^{p-1}(-m)^{n-k} \equiv -(-1)^nB_n\pmod{p}$

と計算でき、定理と合わせることによって $n=1, \dots, p-1$ に対して

$\displaystyle (-1)^nB_n \equiv \sum_{m=1}^{p-1}(-1)^mm^nD_{m-1} \pmod{p}$

が成り立つことを示せました。特に、 $n=p-1$ とすれば次が得られます：

系素数 $p$ に対して

$B_{p-1} \equiv D_{p-1}+1 \pmod{p}$

が成り立つ。

証明. 直前の式で $n=p-1$ とすることにより、

$\begin{equation}\begin{split}(-1)^{p-1}B_{p-1} &= \sum_{m=1}^{p-1}(-1)^{m}m^{p-1}D_{m-1} \\ &\equiv \sum_{m=1}^{p-1}(-1)^mD_{m-1} \\ &= (-1)^{p-1}D_{p-1} - \sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}{k}D_k \\ &= (-1)^{p-1}D_{p-1} - (p-1)! \\ &\equiv D_{p-1}+1 \pmod{p-1}\end{split}\end{equation}$

を得る。最後にWilsonの定理を用いた。 Q.E.D.

ひとまず、Bell数について語りたいことは紹介できました。