をBell数とします。
Bell数に関する過去記事一覧:
52:ベル数 - INTEGERS
Bell数の母関数表示と第二種Stirling数 - INTEGERS
Bell数に関するHurst-Schultzの定理 - INTEGERS
pCrはpの倍数 - INTEGERS
Touchardの合同式 - INTEGERS
Zhi-Wei SunはBell数に関する次の興味深い事実を発見しました:
この事実は2011年にZ.W. SunとD. Zagierによって証明されました。
を完全順列とMontmort数 - INTEGERSで紹介したMontmort数とします。
と
をみると、先ほどの例と関係がありそうです。漸化式
を思い出しておきます。これより、が偶数(resp. 奇数)ならば
は奇数(resp. 偶数)であることもわかります。
証明. 任意の素数を固定して、
を動かして証明する。
は奇素数としてよい。というのも、
が奇数のときには
は奇数であるが、合同式の左辺は
であるから
のときに主張が成立することが確認できる。次に、
なる
について証明すれば十分であることに注意する。これは合同式の両辺が
のみで決まることを確認すればよい。左辺については自然数
に対して
なのでOK。右辺についても、
と表示すれば周期で
の値が決まることが分かる(
が
以上の項は必ず
になることに注意)。
そうして、なる
に対しては数学的帰納法で証明する。合同式の左辺を
とおこう。
を示せばよい(これが示せれば、①より帰納法がまわること分かる)。
過去記事で示した事実として、
があり、が成り立つので、
とが証明できる。次に、Fermatの小定理および
によって
と変形できる。
が成り立つので、再びFermatの小定理によって
と所望の合同式が証明された。 Q.E.D.
integers.hatenablog.com
で紹介した冪乗和の公式において、が任意の自然数
に対して
で割り切れることを容易に確認することができます。このことから、
ならば、
が分かります。
さて、としましょう。すると、上記観察から
が得られます(負冪のときはFermatの小定理を使う)。よって、
と計算でき、定理と合わせることによってに対して
が成り立つことを示せました。特に、とすれば次が得られます:
証明. 直前の式でとすることにより、
を得る。最後にWilsonの定理を用いた。 Q.E.D.
ひとまず、Bell数について語りたいことは紹介できました。