この記事ではSenによる証明を紹介します。
補題
が位相空間の間のproperな連続写像であり、
がHausdorff局所コンパクト空間であるならば、
は閉写像である。ここで、
がproperとは、
の任意のコンパクト部分集合
に対して
が
のコンパクト部分集合となることをいう。
証明. を閉集合とする。
のときは自明に
は閉集合なので、
とする。
を任意にとる。
は局所コンパクトなので、コンパクト近傍
がとれる。
がproperなので、
はコンパクト。よって、
もコンパクトである。
は連続なので
はコンパクトで、
がHausdorffなので
は閉集合。故に、
は開集合であり、
の部分集合かつ
となっている。従って、
は閉集合である。 Q.E.D.
を定数でない複素係数多項式とする()。これは、写像
と思える。
と定めると、は有限集合である(高々
個の元。これは循環論法ではない)。また、
も有限集合である(
は当然有限集合であり、
の各元に対し、その逆像は先ほどと同じ理由で有限である)。
、
とする。このとき、
が成り立つ。は自明に成り立つ。多項式写像
はproperであり(多項式写像は当然連続であるので、
に注意すれば分かる)、
はHausdorff局所コンパ クト空間であるから、補題より
は閉写像である。 よって、
は閉集合。そして、
であるから、
も閉集合である。次に、任意に
をとり、
なる
を一つとる。
の定義より
は正則点であるから、逆写像定理により
(resp.
) の開近傍
(resp.
)が存在して、
は全単射となる。特に
は
において開近傍をもつことが分かり、
は開集合であることが分かった。さて、
は連結であるから(
から有限個の点を除いても連結である)、
が示された。すなわち、
は全射である。