アペリー数

整数整数-5 整数-73 整数-12073365010564729 整数-10258527782126040976126514552283001

非負整数 $n$ に対して $u_n$ を

$\displaystyle u_n := \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2$

と定義して、Apéry数と言います。

$u_{0}= 1$
$u_{1}= 5$
$u_{2}= 73$
$u_{3}= 1445$
$u_{4}= 33001$
$u_{5}= 819005$
$u_{6}= 21460825$
$u_{7}= 584307365$
$u_{8}= 16367912425$
$u_{9}= 468690849005$
$u_{10}= 13657436403073$
$u_{11}= 403676083788125$
$u_{12}= 12073365010564729$
$u_{13}= 364713572395983725$
$u_{14}= 11111571997143198073$
$u_{15}= 341034504521827105445$
$u_{16}= 10534522198396293262825$
$u_{17}= 327259338516161442321485$
$u_{18}= 10217699252454924737153425$
$u_{19}= 320453816254421403579490445$
$u_{20}= 10090942470266994032842836001$
$u_{21}= 318921014082963955914319044245$
$u_{22}= 10112862370204493589226059105073$
$u_{23}= 321646044050119013257870914202205$
$u_{24}= 10258527782126040976126514552283001$
$u_{25}= 328017861753617108138745994353819005$
$u_{26}= 10513075844868136906230866440417359025$
$u_{27}= 337680344520220231237735104674430132365$
$u_{28}= 10868197045847822233854339973569898723225$
$u_{29}= 350448416188671492371137001869642486509005$
$u_{30}= 11320115195385966907843180411829810312080825$
$u_{31}= 366259032039195694511963784094119536372841125$
$u_{32}= 11868391417565105084697095320648938996662005225$
$u_{33}= 385141893551972009791193063262399441595876410125$
$u_{34}= 12515206395070677771488520122693471618033650555825$
$u_{35}= 407201895741328038643638742179545192478609191472365$
$u_{36}= 13264933862314086588526333019005254963413604768312625$
$u_{37}= 432608890743363080972636276208886395181797990653684645$
$u_{38}= 14123900124474974355463488387575208768428006139187446625$
$u_{39}= 461592241038601221317568598272003199462332786066242772365$
$u_{40}= 15100268525919986925572504996818177040381209593531087707425$

$\begin{align}u_{41}= &\ 49443867779111033198622203767282622137937411082915983954112\\ &\ 5\end{align}$

$\begin{align}u_{42}= &\ 16204012637643564134944174573318170906068938798508028723732\\ &\ 025\end{align}$

$\begin{align}u_{43}= &\ 53149257792005849483090696560828338312332815656695262602635\\ &\ 5125\end{align}$

$\begin{align}u_{44}= &\ 17446956469170505526918984913610522180024171894385647979410\\ &\ 457425\end{align}$

$\begin{align}u_{45}= &\ 57315813009409150989682395428727315650203287661663498928608\\ &\ 4964005\end{align}$

$\begin{align}u_{46}= &\ 18842868840510684130726174724393234844121893058638825682059\\ &\ 447790225\end{align}$

$\begin{align}u_{47}= &\ 61990308063843329165213376820285283131965795780871839947446\\ &\ 5302262365\end{align}$

$\begin{align}u_{48}= &\ 20407604627034218634187650429709995262016693431943802877443\\ &\ 284992092025\end{align}$

$\begin{align}u_{49}= &\ 67226389274249468482328802341348580227081313985822309872225\\ &\ 8869327599005\end{align}$

$\begin{align}u_{50}= &\ 22159289267919256357975989248225451256263203286184474224684\\ &\ 522415569903073\end{align}$

$\begin{align}u_{51}= &\ 73085224853700133028625520649381891305350549474367353426503\\ &\ 1262812676859165\end{align}$

$\begin{align}u_{52}= &\ 24118545478569221522220535891464306054025125759758523198656\\ &\ 184698879247893329\end{align}$

$\begin{align}u_{53}= &\ 79636289220911289633693124865419998341910557749363984571985\\ &\ 2706327463957351685\end{align}$

$\begin{align}u_{54}= &\ 26308762982707997150163347174607600383446073635531980036072\\ &\ 760356460577053767073\end{align}$

$\begin{align}u_{55}= &\ 86958286446901144223301882468086725903699971856348586431120\\ &\ 3118504545920921930125\end{align}$

$\begin{align}u_{56}= &\ 28756413555871036808293076865739658212507121097422378401844\\ &\ 542574993990325711849625\end{align}$

$\begin{align}u_{57}= &\ 95140222123112800481998156441288886523162857210528721879762\\ &\ 9452011718191049206740125\end{align}$

$\begin{align}u_{58}= &\ 31491414921220729264605881320348600737039126713065424519131\\ &\ 772744308465085922076644625\end{align}$

$\begin{align}u_{59}= &\ 10428263667069668596853997505557137671062292191102941058856\\ &\ 95925492968540589201843110125\end{align}$

$\begin{align}u_{60}= &\ 34547548173359684543583762977669391020604388434726899893252\\ &\ 906201227174786930976149088729\end{align}$

$\begin{align}u_{61}= &\ 11449901661388193990509003461057215645072280543355118680502\\ &\ 14786140814402440570405884240525\end{align}$

$\begin{align}u_{62}= &\ 37962934502672519870976953192526836551876127711356381955951\\ &\ 055301047006486566474409388111417\end{align}$

$\begin{align}u_{63}= &\ 12591740381750479743178634950802429941312188227344128631661\\ &\ 90934434435134011896271498302159525\end{align}$

$\begin{align}u_{64}= &\ 41780578106917585069832822287618738257208746921562421513072\\ &\ 286784257862233522419575387456138729\end{align}$

$\begin{align}u_{65}= &\ 13868222629179859828787143120749838279058603496785831654417\\ &\ 87882847627972581983499391319762755725\end{align}$

$\begin{align}u_{66}= &\ 46048983350910416359967199109500704576673199526168863550999\\ &\ 155546829493051030593541148339536240625\end{align}$

$\begin{align}u_{67}= &\ 15295637801812944350695426344883017587787872873576960002062\\ &\ 86548633177622491764698401225544787178925\end{align}$

$\begin{align}u_{68}= &\ 50822855504602809965791771523365566478929489276752028581597\\ &\ 567558772879988051522582127095047591948625\end{align}$

$\begin{align}u_{69}= &\ 16892357945254549109043667518181822501912951830291480803784\\ &\ 69567444296661674010424089777422822930550725\end{align}$

$\begin{align}u_{70}= &\ 56163895786407180486121650876618325457933713417125755743619\\ &\ 049359896575836341793156770921771348680987073\end{align}$

$\begin{align}u_{71}= &\ 18679105501733579124564863773667961762485304195529244570800\\ &\ 56486408787748801169810446476443274604003848685\end{align}$

$\begin{align}u_{72}= &\ 62141702992681892741505332854843792246933594580561594618615\\ &\ 626968607041121468951103531004574548050658593329\end{align}$

$\begin{align}u_{73}= &\ 20679256909053971896158311472753394476671922926339282333443\\ &\ 29648926562854442209762595291131356328166111662165\end{align}$

$\begin{align}u_{74}= &\ 68834795736690890532666476763266569758984274770074161250065\\ &\ 158842825806159270947831164817938845169439035448073\end{align}$

$\begin{align}u_{75}= &\ 22919186784910540534150807259825328808281925577814079627693\\ &\ 18136158703157516835655348114936516569888416767605445\end{align}$

$\begin{align}u_{76}= &\ 76331771283541920470665775328417582253239321695637764015980\\ &\ 157531998358485158802315597203739671231809333456740225\end{align}$

$\begin{align}u_{77}= &\ 25428658091969713827672399623587307561279517042555151342806\\ &\ 99115693963534474420018571614290609044325345407958462485\end{align}$

$\begin{align}u_{78}= &\ 84732619186749313222481464668275013781196750653338511682935\\ &\ 465332980984293956265585494709998743780359950317316705025\end{align}$

$\begin{align}u_{79}= &\ 28241264425854898974413240222766207543192470805122051858141\\ &\ 86590686815288039945541807582633994940861906705609033090445\end{align}$

$\begin{align}u_{80}= &\ 94150210445939180211368764518222167090206135631231282300229\\ &\ 28988415337206955771864522459401386947322183223034638201782\\ &\ 5\end{align}$

$\begin{align}u_{81}= &\ 31394931414766182606124967267255170775497007824329086756502\\ &\ 21664116425161501311614808290043517533279505138932377728161\\ &\ 125\end{align}$

$\begin{align}u_{82}= &\ 10471198575710109325796201518348909175489412474658537677133\\ &\ 94807110383292756912606323708369993136320508215273715806507\\ &\ 61225\end{align}$

$\begin{align}u_{83}= &\ 34932485180409106757354039281982875461452757193985906873936\\ &\ 47183646703981026939715883488492720920420754534254378653844\\ &\ 505125\end{align}$

$\begin{align}u_{84}= &\ 11656186966536986149082454694337907964805477906752946153568\\ &\ 67415884312016566974025781454450074498831463768200446582309\\ &\ 05892825\end{align}$

$\begin{align}u_{85}= &\ 38902296901563829313944564750534026814062648025270886888879\\ &\ 24563114911105682438608657651506082902872688973263454043730\\ &\ 413581485\end{align}$

$\begin{align}u_{86}= &\ 12986244111060551636718909465185476442379712923693570750721\\ &\ 46217765276303783278919484930022287978116087230045489446588\\ &\ 50882939625\end{align}$

$\begin{align}u_{87}= &\ 43359013762510216474544137006965554690474306830306289345990\\ &\ 28455588011696036374715323669245804946179813783053751327013\\ &\ 155621876405\end{align}$

$\begin{align}u_{88}= &\ 14479739504038989457381576731968113798425138892862680332853\\ &\ 79037163094564882916746646747550407710756153094613389545183\\ &\ 87093769708625\end{align}$

$\begin{align}u_{89}= &\ 48364387979649348760408729568118520628434979665298644381241\\ &\ 94471530896636561776091242365017754262894331740157991364926\\ &\ 034603037506485\end{align}$

$\begin{align}u_{90}= &\ 16157433452430781561555992219249419697059954369492859091399\\ &\ 71393269188890210824146881558573100200148701939301384639311\\ &\ 90427406279108425\end{align}$

$\begin{align}u_{91}= &\ 53988217204912812840255876716937135347533881497485597710692\\ &\ 00326017690171434238680731554477753963989858613121519907086\\ &\ 528102486279101125\end{align}$

$\begin{align}u_{92}= &\ 18042793821809278793821789559805208668989776397087954959618\\ &\ 91685471517710211575900353183958938723494618866493202608518\\ &\ 34607400016261935025\end{align}$

$\begin{align}u_{93}= &\ 60309411431107105133149041589595026893789136896455311794730\\ &\ 07540269680180565746722782459120689942318384783809985378023\\ &\ 405410772830677885125\end{align}$

$\begin{align}u_{94}= &\ 20162355418810045435491582606048957524315525771651384487521\\ &\ 78633290159979125475182816928065263068624189740662544971521\\ &\ 00344174409324559833425\end{align}$

$\begin{align}u_{95}= &\ 67417203603150936917224214291897644321390665979833226827467\\ &\ 85684945146746314690609177729710898092537194616404556434229\\ &\ 357406909078889780900445\end{align}$

$\begin{align}u_{96}= &\ 22546127812008693479938659065187609613398482900166969426295\\ &\ 17832553343120091425236703443787841883978077498129327115076\\ &\ 32271463882027938703452025\end{align}$

$\begin{align}u_{97}= &\ 75412523505488547152930852399484152317755021125840852741717\\ &\ 66529640306279927568664107307158740416897870974768646241521\\ &\ 908511633576299115208107485\end{align}$

$\begin{align}u_{98}= &\ 25228058192044589719415158287018692324011902331967752759397\\ &\ 43435456944967430718968500265465975928358689654803112657442\\ &\ 35239096403157450639008668225\end{align}$

$\begin{align}u_{99}= &\ 84409557189988221283152089738739474892117451366213283010759\\ &\ 27084314057611847454159923443849272175531821783389301999530\\ &\ 626625240757464705023716240445\end{align}$

$\begin{align}u_{100}= &\ 2824655678085764281693105699365157322007518060303834194974\\ &\ 5729196560197198153986278635544428516184934271896407737759\\ &\ 2329055009807990447067426716336001\end{align}$

となっています。何はともあれ、素数を探すと(Apéry素数)

$\begin{align}u_1 &= 5 \\ u_2 &= 73 \\ u_{12} &= 12073365010564729 \\ u_{24}&=10258527782126040976126514552283001\end{align}$

が見つかります。たった今から $73$ は私のお気に入りの素数になりそうです。

次に、Apéry数の数値を眺めていると「やたら $5$ の倍数が多いなあ」という印象を持ちます。1980年にChowla-Cowles-Cowlesが奇素数 $p$ に対して $u_p \equiv 0 \pmod{5}$ だろうと予想していますが、実際にはもっとたくさん $5$ の倍数があるように見えます。

$u_0$ から $u_{100}$ までで $5$ の倍数にならないのは

$u_0, u_2, u_4, u_{10}, u_{12}, u_{14}, u_{20}, u_{22}, u_{24}, u_{50}, u_{52}, u_{54}, u_{60}, u_{62}, u_{64}, u_{70}, u_{72}, u_{74}, u_{100}$

で、添字だけ取り出すと

$0, 2, 4, 10, 12, 14, 20, 22, 24, 50, 52, 54, 60, 62, 64, 70, 72, 74, 100$

です。何か規則性が分かるでしょうか？オンライン整数列辞典にはどうやら登録されていません。

実はこれらの数を $5$ 進法表示するとはっきりと規則性が見えてきます：

$0_{(5)}, \ 2_{(5)}, \ 4_{(5)}, \ 20_{(5)}, \ 22_{(5)}, \ 24_{(5)}, \ 40_{(5)}, \ 42_{(5)}, \ 44_{(5)}, \ 200_{(5)},$

$\ 202_{(5)}, \ 204_{(5)}, \ 220_{(5)}, \ 222_{(5)}, \ 224_{(5)}, \ 240_{(5)}, \ 242_{(5)}, \ 244_{(5)}, \ 400_{(5)}$

例えば、 $64=224_{(5)}$ です。次が成立します：

定理１ Apéry数 $u_n$ が $5$ の倍数になるための必要十分条件は $n$ の $5$ 進展開表示の桁の数が少なくとも一つ奇数( $1, 3$ )であることである。

より強い定理が成り立ちます：

定理２ (Gessel) $p$ を素数とし、 $n$ を非負整数とする。 $n$ が $n=a_0+a_1p+\cdots +a_lp^l$ と $p$ 進展開されているならば( $0 \leq a_i \leq p-1$ )、

$u_n \equiv u_{a_0}u_{a_1}\cdots u_{a_l} \pmod{p}$

が成立する。

定理２の証明. 非負整数 $a, b$ で $0 \leq a \leq p-1$ を満たすものに対して、

$u_{a+pb} \equiv u_au_b\pmod{p}$

が成り立つことを示せば十分であるが、Lucasの合同式(其の二)より

$\begin{align}u_{a+pb} &= \sum_{k=0}^{a+pb}\binom{a+pb}{k}^2\binom{a+pb+k}{k}^2 \\ &= \sum_{i=0}^{p-1}\sum_{j=0}^b\binom{a+pb}{i+pj}^2\binom{a+pb+i+pj}{i+pj}^2 \\ &\equiv \sum_{i=0}^{p-1}\sum_{j=0}^b\binom{a}{i}^2\binom{b}{j}^2\binom{a+j}{j}^2\binom{b+j}{j}^2 \\ &= \left( \sum_{i=0}^a\binom{a}{i}^2\binom{a+i}{i}^2 \right) \left( \sum_{j=0}^b\binom{b}{j}^2\binom{b+j}{j}^2\right) \\ &= u_au_b \pmod{p}\end{align}$