関-ベルヌーイ数の第二種Stirling数を用いた公式

関-Bernoulli数は第二種Stirling数を用いて表すことができます。

関-Bernoulli数については関-ベルヌーイ数 - INTEGERS

を、第二種Stirling数についてはBell数の母関数表示と第二種Stirling数 - INTEGERS

を参照してください。関-Bernoulli数は一つ目の記事で紹介したように

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}B_n\frac{t^n}{n!} = \frac{te^t}{e^t-1} \tag{1}$

を満たすように定義されます。一方、二つ目の記事では第二種Stirling数が

$\displaystyle e^{x(e^t-1)}=\sum_{n \geq k \geq 0}\left\{ {n \atop k} \right\} x^k\frac{t^n}{n!} \tag{2}$

を満たすことを示しました。(2)において $x^k$ の係数を比較することによって

$\displaystyle \frac{(e^t-1)^k}{k!} = \sum_{n=k}^{\infty}\left\{ {n \atop k} \right\}\frac{t^n}{n!}\tag{3}$

が成り立つことが分かります。

$\displaystyle \frac{te^t}{e^t-1} = \frac{t}{1-e^{-1}} = \frac{-\log (1-(1-e^{-t}) )}{1-e^{-t}}$

と変形し、対数関数のTaylor展開*1

$\displaystyle -\log (1-x) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k}$

より

$\begin{align}\frac{te^t}{e^t-1} &= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(1-e^{-t})^{k-1}}{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(e^{-t}-1)^k}{k+1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kk!}{k+1}\frac{(e^{-t}-1)^k}{k!} \\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kk!}{k+1}\sum_{n=k}^{\infty}\left\{ {n \atop k} \right\}\frac{(-t)^n}{n!} \qquad (\text{(3)より})\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left( \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kk!\left\{ {n \atop k} \right\}}{k+1} \right) \frac{t^n}{n!}\end{align}$

と計算できます。よって、(1)と係数比較をすることにより、

$\displaystyle B_n = (-1)^n\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kk!\left\{ {n \atop k} \right\}}{k+1}\tag{4}$

なる関-Bernoulli数の第二種Stirling数を用いた表示が得られました。なお、

pCrはpの倍数 - INTEGERSで

$\displaystyle \left\{ {n \atop k} \right\} = \frac{1}{k!}\sum_{j=0}^k(-1)^{k-j}\binom{k}{j}j^n$

を証明したので、

$\displaystyle B_n= (-1)^n\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^k(-1)^j\binom{k}{j}j^n= (-1)^n\sum_{n \geq k \geq j \geq 0}\frac{(-1)^jj^n}{k+1}\binom{k}{j}$

なる二項係数を用いた二重和表示も得られます。

また、

$\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kk!\left\{ {n+1 \atop k+1} \right\}}{k+1}\tag{5}$

なる表示も持ちます。これは、第二種Stirling数の漸化式より

$\begin{align}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kk!\left\{ {n+1 \atop k+1} \right\}}{k+1} &=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kk!\left(\left\{ {n \atop k} \right\}+(k+1)\left\{ {n\atop k+1}\right\}\right)}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kk!\left\{ {n \atop k} \right\}}{k+1}+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kk!\left\{ {n\atop k+1}\right\}\end{align}$

と変形でき、

$\begin{align}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kk!\left\{ {n\atop k+1}\right\}&=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kk!\left(\left\{ {n-1\atop k}\right\}+(k+1)\left\{ {n-1\atop k+1}\right\}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kk!\left\{ {n-1\atop k}\right\}-\sum_{k=0}^{n-2}(-1)^{k+1}(k+1)!\left\{ {n-1\atop k+1}\right\}\\ &=\delta_{1 n} \end{align}$