高校数学の美しい物語さんの記事
を初めて見たとき、一つだけ知らない定理がありました。それがZsigmondyの定理です:
この定理は1892年にZsigmondyによって発見・証明され、1904年にBirkhoffとVandiverによって再証明されています。この記事ではZsigmondyの定理のBirkhof-Vandiverによる証明をMichelsが整理したものを解説します。定理の主張を満たすような素因数のことを原始的素因数と呼ぶことにします。
準備の補題
および
が成り立つことを思い出します。ここで、はMöbius関数です。
証明. ②を用いることによって容易に確認できる。 Q.E.D.
証明. なので、①よりである。Fermatの小定理よりであり、結局となる。すなわち、は確かにの元であって、その位数をとするとが成り立つ。補題1よりであり、Fermatの小定理よりであるから ー③がわかる。であると仮定して矛盾を導く。②よりなので、或るが存在して ー④が成り立つ。であることから、③と④より多項式はに還元して考えると重根をもつことになる。しかしながら、重根を持てるのはの場合のみである。従って、我々は矛盾に到達した。 Q.E.D.
証明. これは鈴木の定理の記事105:円分多項式の係数と鈴木の定理 - INTEGERSにおける補題7に他ならない。 Q.E.D.
証明. 別途記事を書いた:指数持ち上げ補題 - INTEGERS Q.E.D.
証明. が絶対値の複素数であれば三角不等式
が成立する。一つ目の不等式はのときのみ、二つ目の不等式はのときのみ等号が成立する。この不等式を全てのの原始乗根について考えて掛け合わせることにより
が得られる。一つ目の不等式で等号が成立するのはのときのみであり、それはのときである。二つ目の不等式はであることから常に等号は成立しない。さて、定義より不等式の真ん中の数はであり、②よりであることからである。 Q.E.D.
Zsigmondyの定理の証明
はZsigmondyの定理の主張に現れるようなものとして固定する。ただし、とする(主張の本質は変わらない)。また、例外ケースではないと仮定する。
のとき で、例外ケースでないことからは奇素数因子を持ち、それが原始的となる。何故ならば、もし、も割り切るならばとを割り切ることになり互いに素であるという仮定に反するからである。
従って、以下とする。
若干の帰着
原始的素因数の存在を示すということは、の素因数が存在してなる任意のに対してはを割り切らないことを示すということである(定義そのもの)。しかしながら、実際には
が成り立つ。これを確認するにはの素因数に対して、がの素因数であるような最小の自然数をとったときにとなっていることを示せばよい。は互いに素であるからともにで割り切れないことに注意する。なる整数を一つとる*1。はと同値である。よって、の最小性からのにおける位数はである。でもあるからがわかる。
証明方針
を斉次円分多項式とする。すなわち、
が成り立つ。円分多項式に関する命題は大抵の場合斉次版に書き換えることができる。
示したいことはが原始的素因数を持つことであるが、の因数のうち原始的素因数からなる部分をとする。すなわち、をの原始的素因数全体からなる集合とするとき、
と定義される。ならばとする。しからば、我々が示すべきことはとなる。
ところで、各原始的素因数は⑥よりなるに対するのいずれかに住んでいるが、原始的素因数の定義と⑦を合わせて考えるとなるに対するには住んでいないことがわかる。すなわち、はに格納されているのである。そこで、
とを導入する。我々は自体を攻めるのではなく、を攻めるという方針をとることにする。証明のKeyはは殆ど素因数を持ち得ないことを示すことである。具体的にいうと、は素因数を持ったとしても高々一つであり、更にその素因数の指数はであることを示すことができる。この証明に指数持ち上げ補題が巧みに用いられることになる。そうして、が十分に小さいことを示した後に補題5を使ってを下から評価することによっても下から評価できるという寸法である。
の構造
が素因数を持ったと仮定する。このとき、
を示す。 のときは補題3のうち、は成り立たない(なので)。よって、が成り立つ。
は奇素数であるとする。と仮定して矛盾を導く。の素因数は原始的ではないため、「若干の帰着」の内容と合わせると、, であってなるものが存在する。まず、⑥より
であり、特に
であることがわかる。一方、であってであるから、指数持ち上げ補題を適用すると
が成り立つことがわかる(と仮定していることに注意)。これは⑧と矛盾する。以上によりが示された。つまり、の素因数はの素因数によって支配される(とりあえずそんなにたくさんはないことがわかった)。を引き続き仮定する。
の素因数はのみであることを示す。 と表示する。ここで、は自然数ではで割り切れない。補題1は斉次版でも成り立つため
が成り立ち、Fermatの小定理よりであるから、である。なる整数をとるとが成り立つので、補題3よりまたはとなる。今、であるからが成立することがわかる。特に、である。をの以外の素因数としよう(これはのときのみ考える)。すると、なので、と合わせてでなければならない。先ほどを示したことと合わせて
ことが示された。引き続きと仮定しよう。今示したことからと書けることがわかる。
であることを示す。 のときから示す。の最大の素因数がということになるので、はの冪である。としているのだから、もの冪である。⑦とMöbius関数の性質より
である。が互いに素であることとからとはともに奇数である。すなわち、は奇数の平方数の和になっていることがわかった。従って、である。すなわち、は単偶数(i.e. )である。
次にが奇素数であるとする。なるを任意に考える。今までと同じようにをとると、であることからであることがわかり、補題2よりのでの位数はである(という設定は続ける)。一方、なので、であることがわかる。このことから、⑦を考えると
となる(の値がとならない因子のみを考えればよく、そのようなもののうち最後の二つ以外はで割れない)。が原始的でないことを考えると、上の議論と合わせては実際にで割り切れることがわかるので、, , として指数持ち上げ補題を適用することができる。従って、
を得る。以上をもって、はであるか、或る素数に対してとなることが示された。
証明の完結
のとき 補題5(に注意)より
よって、が示された。
のとき 補題5より
となって、が示された(なので)。
のとき を示せばよい。なのでは奇数である(今、のパリティは異なる)。とおく。いつも通りは自然数ではで割り切れないものとする。と仮定する。と考えて補題1の斉次版を適用すると
が成り立ち、
と評価できる。、すなわちの場合を考える。補題1の斉次版と補題5の斉次版より
と評価できる。のとき関数はで単調増加なので、
となるが、だとこれはより大きい。こうして、の場合が残った。で、前に示したようになのだから、しかありえない。
としよう。なので、の素因数は原始的である(「若干の帰着」に注意)。最終的にの場合が残ったが、
なので、ならばが示される。のときは、例外ケースであった。 Q.E.D.
あとがき
Zsigmondyの定理は古い結果ですが、今ではZsigmondyの定理を特殊な場合として含む、はるかに強力な結果が得られています:
integers.hatenablog.com
この記事を書いたことによって、インテジャーズでは高校数学の美しい物語さんの「整数論の美しい定理7つ」の記事で紹介されている7つの定理のうち、フェルマーの最終定理以外の証明を解説したことになります。あと一つ!
*1:の存在証明は integers.hatenablog.com に書きました。