ウェダーバーンの定理

環と言ったら可換環のことを指すというようなことはなくて、普通は非可換環も含めて環なので、可換環しか扱わないような場合は最初に明言する必要があります。 $1$ を持つかなども基本的には書かなければなりません。一方、体と言ったら普通は可換体を表します。非可換の場合も含める場合は斜体とか可除環と呼ぶことが殆どです。次の定理は非常に基本的な事実です：

定理 (Wedderburn, Dickson) 有限斜体は可換である。

基本的な事実ではありますが、「有限性が可換性を保証する」と読めるので、初見では驚きの定理でもあります。証明はたくさん知られており、コホモロジー論からBrauer群が消えることを言うことも出来ますし、Skolem–Noetherを使う証明や、類等式を使う証明などをよく見る気がします。

しかしながら、Zsigmondyの定理を使う証明があることを知りました。せっかくZsigmondyの定理についてまとめたので、Zsigmondyの定理 - INTEGERS

それを使った証明を紹介することにします。Sylowの定理は既知と仮定します。

証明

$K$ を有限斜体とする。 $K$ の素体を $K(p)$ とする( $p$ は素数で $K(p) \simeq \mathbb{F}_p$ )。 $n:=[K:K(p)]$ とおく( $n \geq 2$ を考えれば十分)。

$n=2$ のとき
$K\setminus K(p)$ の元 $a$ を任意にとる。このとき, $a$ が生成する $K$ の部分体 $F$ は $K(p)$ には一致しないため、元の個数を考えると $K=F$ ということになる。これは可換。

$n > 2$ , $(n, p) \neq (6, 2)$ のとき
Zsigmondyの定理によって、 $p^n-1$ の素因数 $q$ であって、任意の $1 \leq k \leq n-1$ に対して $q \nmid p^k-1$ なるものが存在する。 $K^{\times}$ は位数 $p^n-1$ の有限群であるから、位数 $q$ の元 $a \in K^{\times}$ が存在する(これはSylowの定理より弱いCauchyの定理と呼ばれている事実から分かる)。 $a$ の生成する $K$ の部分体 $F$ を考える。 $k:=[F:K(p)]$ とおく。このとき、 $\#F^{\times}=p^k-1$ なので、 $q \mid p^k-1$ である。従って、 $q$ の性質から $k=n$ となって、 $K=F$ を得る。すなわち、 $K$ は可換である。

$(n, p) = (6, 2)$ のとき
$\#K^{\times}=2^6-1=63=9\times 7$ なので、Sylowの定理より位数 $9$ の部分群 $G$ が存在する(位数 $9$ の群は可換なものしかない)*1。 $G$ の生成する $K$ の部分体を $F$ とする。 $k:=[F:K(2)]$ とおくと( $k \leq 6$ )、 $\#F^{\times}=2^k-1$ であるが、 $G$ は $F^{\times}$ の部分群なので $9 \mid 2^k-1$ でなければならない。こうなるのは $k=6$ のときのみである。すなわち、 $K=F$ であり、これは可換である。