リュービル数

超越数の存在は1844年にLiouvilleによって初めて証明されました。この記事ではLiouville数について簡潔にまとめます。

定義複素数 $\alpha$ がLiouville数であるとは、任意の正整数 $n$ に対して或る整数 $a, b$ であって、 $b > 1$ なるものが存在して、

$\displaystyle 0 < \left| \alpha - \frac{a}{b}\right| < \frac{1}{b^n}$

が成り立つときにいう。

Liouville数の例を一つ上げておきます：

Liouville数の例 $\ \displaystyle \alpha := \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{2^{j!}}$ はLiouville数である。

証明. $\alpha$ は小数としての二進法表示においていくらでも長く $0$ が続く区間があるので(そして $1$ も無数に現れる)、無理数である(周期的ではない)。正整数 $n$ を任意に取る。このとき、有理数 $a/b$ を

$\displaystyle \frac{a}{b} := \sum_{j=0}^n\frac{1}{2^{j!}}, \quad b=2^{n!} > 1$

と定義する。 $\alpha$ は無理数なので

$\displaystyle \left|\alpha -\frac{a}{b}\right| > 0$

である。一方、

$\displaystyle \left|\alpha-\frac{a}{b}\right| = \sum_{j=n+1}^{\infty}\frac{1}{2^{j!}} < \sum_{j=(n+1)!}^{\infty}\frac{1}{2^j} = \frac{1}{2^{(n+1)!-1}}\leq \frac{1}{2^{n\cdot n!}} = \frac{1}{b^n}$

と評価できるため、 $\alpha$ がLiouville数の定義を満たすことが確認された。 Q.E.D.

補題 (代数的無理数の近似) $n$ を正整数とし、 $\alpha$ を $n$ 次の代数的数とする。このとき、 $\alpha$ のみに依存する正定数 $C=C(\alpha) > 0$ が存在して、任意の整数 $a, b \ (b > 0)$ に対して

$\displaystyle \left|\alpha-\frac{a}{b}\right| > \frac{C}{b^n}$

が成り立つ。

証明. $\alpha$ の整数係数最小多項式を $\displaystyle f(x)=\sum_{j=0}^na_jx^j$ とする( $a_n\neq 0, \ f(\alpha)=0$ )。 $\displaystyle M:=\max_{[\alpha-1, \alpha+1]}\left|f'(x)\right|$ とし、 $\alpha_1, \dots, \alpha_m$ を $\alpha$ と異なる $f(x)$ の相異なる根全体とする*1。正の数 $C$ を

$\displaystyle C < \min\{1, M^{-1}, \left|\alpha-\alpha_1\right|, \dots, \left|\alpha-\alpha_m\right|\}$

を満たすように任意にとって固定する。この $C$ に対して主張が成り立つことを背理法で証明する。すなわち、或る整数 $a, b \ (b > 0)$ に対して

$\displaystyle \left|\alpha-\frac{a}{b}\right| \leq \frac{C}{b^n}$

であると仮定する。このとき、

$\displaystyle \left|\alpha-\frac{a}{b}\right| \leq \frac{C}{b^n} \leq C < \min\{1, \left|\alpha-\alpha_1\right|, \dots, \left|\alpha-\alpha_m\right|\}$

なので、 $\displaystyle \frac{a}{b} \in [\alpha-1, \alpha+1]$ 及び $\displaystyle \frac{a}{b} \not \in \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}$ がわかる。平均値の定理によって、 $a/b$ と $\alpha$ の間の実数 $\xi$ であって

$\displaystyle f(\alpha)-f\left(\frac{a}{b}\right) = \left(\alpha-\frac{a}{b}\right)f'(\xi)$

なるものが存在し、このとき、 $\displaystyle f(\alpha)=0, \ f\left(\frac{a}{b}\right) \neq 0$ なので

$\displaystyle \left|\alpha-\frac{a}{b}\right| = \left|\frac{f\left(\frac{a}{b}\right)-f(\alpha)}{f'(\xi)}\right| = \frac{\left|f\left(\frac{a}{b}\right)\right|}{\left|f'(\xi)\right|}$

及び

$\displaystyle \left|f\left(\frac{a}{b}\right)\right| = \frac{\left|\sum_{j=0}^na_ja^jb^{n-j}\right|}{b^n} \geq \frac{1}{b^n}$

が成り立つ。 $\left|f'(\xi)\right| \leq M$ なので、

$\displaystyle \left|\alpha-\frac{a}{b}\right| \geq \frac{1}{Mb^n} > \frac{C}{b^n} \geq \left|\alpha-\frac{a}{b}\right|$

となって、矛盾に到達する。 Q.E.D.

定理 (Liouville) Liouville数は超越数である。

証明. $\alpha$ をLiouville数とし、 $\alpha$ が代数的数と仮定して矛盾させる。まず、 $\alpha$ が有理数であると仮定する。このとき、整数 $c, d \ (d > 0)$ が存在して、 $\displaystyle \alpha=\frac{c}{d}$ と書ける。 $2^{n-1} > d$ なる正整数 $n$ をとると、任意の整数 $a, b$ であって $\displaystyle b > 1, \ \frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}$ なるものに対して、

$\displaystyle \left|\alpha-\frac{a}{b}\right| = \left|\frac{c}{d}-\frac{a}{b}\right| \geq \frac{1}{bd} > \frac{1}{2^{n-1}b} \geq \frac{1}{b^n}$

となる。これは $\alpha$ がLiouville数であるという仮定に反する。次に、 $\alpha$ が代数的無理数であると仮定する。 $\alpha$ の次数を $n$ として、補題の正定数 $C$ をとる。 $2^r \geq C^{-1}$ なる正整数 $r$ をとると、 $\alpha$ がLiouville数であることから或る整数 $a, b \ (b > 1)$ が存在して