INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

算術級数定理についての注意

算術級数定理

Dirichletの算術級数定理についての補足記事です。

Dirichletの算術級数定理 $a, b$ を互いに素な正整数とする。このとき、 $an+b$ $(n \in \mathbb{N})$ の形で表される素数は無数に存在する。

integers.hatenablog.com

例えば、最近

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で算術級数定理を応用しましたが、そこでは「 $an+b$ 型の素数の無限性」ではなく「 $an+b$ 型の素数が少なくとも一つ存在する」ということを使ったにすぎません。

このように、算術級数型の素数の存在性のみを応用したいということはよくあるので、次の定理の算術級数定理より簡単な証明を欲するのは自然なことと言えます。

存在定理 $a, b$ を互いに素な正整数とする。このとき、 $an+b$ $(n \in \mathbb{N})$ の形で表される素数が少なくとも一つ存在する。

ところが、実はこれは算術級数定理と同じ深さにある*1のです。

存在定理 $\Longleftrightarrow$ 算術級数定理の証明. $a, b$ を互いに素な正整数とし、正整数 $n$ に対して $p=an+b$ が素数であると仮定する。さて、存在定理が成立すると仮定しよう。 $p > b$ なので $p$ と $b$ は互いに素であり、従って $ap$ と $b$ も互いに素である。よって、存在定理より或る正整数 $m$ が存在して

$q=(ap)m+b=a(pm)+b$

は素数となる。 $q$ は $p$ より大きい $a$ で割った余りが $b$ であるような素数であるため、この論法によって $a$ で割った余りが $b$ であるような素数は無数に存在することがわかる(この論法の最初のステップの $p$ の存在性は存在定理によってわかる)。 Q.E.D.

存在定理における $(a, b)$ の任意性によって、 $a \mapsto ap$ と取り替えてより大きい法の世界から $a$ の世界を見下ろすことがポイントです。存在定理は一つの与えられた組 $(a, b)$ に対してたった一つの素数 $an+b$ の存在性のみを保証する命題ですが、勝手に与えられた $(a, b)$ でそんなことが証明されるのであればそれは任意の $(a, b)$ で言えるということですからこのような取り替えテクニックが上手くいきます。

というわけで、応用上存在定理のみが使われることも多い算術級数定理ですが、それは定理の本質だったのです。

*1:同値の別表現。