インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

調和級数の発散証明

定理解説

調和級数が発散することの証明は16843：ウォルステンホルム素数、調和数、調和級数、オイラーの定数 - INTEGERSに書いていますし、マスオさんも三通り紹介されています：

mathtrain.jp

今回紹介する次の証明はLeonard Gillmanによります：

Gillmanによる証明

調和級数が収束したと仮定し、H:=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdotsとする。このとき、

\begin{align} H &= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \\ &= \left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right) + \cdots \\ &> \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right) + \cdots \\ &= 1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots = H\end{align}

となって矛盾する*1。 Q.E.D.

ついでに交代和

\displaystyle A_n := 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots -\frac{1}{2n}

を使った有名な証明も紹介します。

A_nを使った証明

H_n:=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}とすると

\begin{align} A_n &= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots -\frac{1}{2n} \\ &= H_{2n}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n}\right) \\ &= H_{2n}-H_n \\ &= \frac{1}{n+1}+\cdots + \frac{1}{2n}\end{align}

なので、

\displaystyle A_{n+1}-A_n = \frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2} > 0

となって、\{A_n\}が単調増大列であることがわかる。一方、

\displaystyle \frac{1}{2} = A_1 \leq A_n = \frac{1}{n+1}+\cdots + \frac{1}{2n} \leq \frac{n}{n+1} < 1

であるから、単調収束定理より\displaystyle \lim_{n \to \infty}A_n=:Aが存在して、

\displaystyle \frac{1}{2} \leq A \leq 1

がわかった。もし、\{H_n\}が収束して\displaystyle \lim_{n \to \infty} H_n = Hであったとすると、

A=H-H=0

となって矛盾する。 Q.E.D.

ちなみに、A=\log 2です(cf. log 2 - INTEGERS)。

*1:>ではなく\geqしか言えないのでは？と気になるかもしれませんが、例えば二つ目以降だけで\geqとしてから1/2を引けばちゃんと>が言えます。