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数、特に整数に関する記事。

タオのセメレディ論文の§6を読む (その一)

等間隔に並ぶ素数を追い求めて

§6 Factors of almost periodic functions に入ります。まず、\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族の基本事項をまとめます。

定義１ (Definition 6.1) \mathbb{Z}_Nの部分集合族\mathcal{B}*1が\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族であるとは、

  • \emptyset, \mathbb{Z}_N \in \mathcal{B}
  • A \in \mathcal{B} \Longrightarrow \mathbb{Z}_N \setminus A \in \mathcal{B}
  • A_1, A_2 \in \mathcal{B} \Longrightarrow A_1 \cup A_2 \in \mathcal{B}
  • A_1, A_2 \in \mathcal{B} \Longrightarrow A_1 \cap A_2 \in \mathcal{B}

が成り立つときにいう*2。また、包含関係について極小となる空でない\mathcal{B}の元を\mathcal{B}のアトムと呼ぶ。

\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族\mathcal{B}はそのアトム達によって生成されます(\mathcal{B}の任意の元は有限個のアトムの和集合として表わすことができる)。
理由: A, B \in \mathcal{B} で A \subset Bならば

B\setminus A = B\cap (\mathbb{Z}_N \setminus A) \in \mathcal{B}

が成り立つことに注意すればよい*3。

アトムについては次の事実が基本的です:

補題１ \mathcal{B}を\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族とし、x \in \mathbb{Z}_ Nとする。このとき、xを含むような\mathcal{B}のアトムは一意的に存在する。それを\mathcal{B}(x)と表すとき、y \in \mathcal{B}(x)ならば \mathcal{B}(x) = \mathcal{B}(y) が成り立つ。

証明. 前半の存在性は明らか。一意性は\mathcal{B}が共通部分を取る操作で閉じていることから従う。後半: y \in \mathcal{B}(x)より\mathcal{B}(y) \subset \mathcal{B}(x) であるが、\mathcal{B}(x)がアトムであることからこの包含関係は等号でなければならない。 Q.E.D.

よって、先ほど述べた\mathcal{B}の元を有限個のアトムの和集合として表す方法は一意的であることがわかります。つまり、\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族とそのアトム全体のなす集合は一対一に対応します。\mathbb{Z}_Nの部分集合族が\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族のアトム全体のなす集合になるための必要十分条件はその集合族が\mathbb{Z}_Nの分割を与えることに他なりません。

定義２ \mathcal{B}を\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族とする。f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})が\mathcal{B}-可測であるとは fが\mathcal{B}の各アトム上で定数関数となっているときにいう。\mathcal{B}-可測関数全体のなす集合を \mathcal{M}(\mathcal{B}) と表す。

\mathcal{B} \subset \mathcal{B}' \Longrightarrow \mathcal{M}(\mathcal{B}) \subset \mathcal{M}(\mathcal{B}')。

定義３ \mathcal{B}を\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族とする。条件付き期待値作用素
\left.\mathbb{E}(\cdot \right| \mathcal{B}) \colon \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}) \to \mathcal{M}(\mathcal{B})
を f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}), \ x \in \mathbb{Z}_N に対して
\left.\mathbb{E}(f\right| \mathcal{B})(x):=\mathbb{E}_{\mathcal{B}(x)}(f)
によって定める。

条件付き期待値作用素のwell-definedness(値域の正当性)は補題１から従います。自明な\sigma-加法族に対しては、\mathbb{Z}_Nが唯一のアトムなので

\displaystyle \left.\mathbb{E}(f\right|\{\emptyset, \mathbb{Z}_N\}) = \int_{\mathbb{Z}_N}f

となります(定数関数)。

基本性質 条件付き期待値作用素は非負性・期待値・定数関数・有界性を保つような線形自己随伴作用素である。

証明. 自己随伴性と期待値を保つこと以外は明らか。自己随伴性は f, g \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}) に対して

\displaystyle \left\langle \left.\mathbb{E}(f\right| \mathcal{B}), g\right\rangle = \left\langle f, \left.\mathbb{E}(g\right| \mathcal{B})\right\rangle

が成り立つということであるが、書き下すと等号

\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{x \in \mathbb{Z}_N}\frac{1}{\#\mathcal{B}(x)}\left(\sum_{y \in \mathcal{B}(x)}f(y)\right)\overline{g}(x) = \frac{1}{N}\sum_{y \in \mathbb{Z}_N}f(y)\frac{1}{\#\mathcal{B}(y)}\left(\sum_{x \in \mathcal{B}(y)}\overline{g}(x)\right)

を言っていて、これは補題１から従う。期待値の保存は

\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(f\right| \mathcal{B})\right| \mathcal{B}\right) (x) = \mathbb{E}_{\mathcal{B}(x)}\left(\left.\mathbb{E}(f\right| \mathcal{B})\right)=\frac{1}{\#\mathcal{B}(x)}\sum_{y \in \mathcal{B}(x)}\mathbb{E}_{\mathcal{B}(y)}(f) = \mathbb{E}_{\mathcal{B}(x)}(f) = \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})(x)

と計算で確かめられる(やはり補題１を使用している)。 Q.E.D.

定義４ \mathcal{B}を\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族とする。f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})が\mathcal{B}と直交するとは \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})=0 が成り立つときにいう。

補題２ (一意直交分解) \mathcal{B}を\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族とする。任意の f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})は
\displaystyle f=\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})+\left(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right)
と、「\mathcal{B}-可測関数」と「\mathcal{B}と直交する関数」の和に一意的に分解できる。

証明. f = g+hと分解されたとする(gは\mathcal{B}-可測関数で hは\mathcal{B}と直交する関数)。このとき、条件付き期待値作用素の基本性質と\mathcal{B}-可測関数の定義より

\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})=\left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B})=g

となり、h=f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})を得る。逆に、分解

\displaystyle f=\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})+\left(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right)

において \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})は\mathcal{B}-可測関数であり、f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})は

\left.\mathbb{E}(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right|\mathcal{B})=\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})-\left.\mathbb{E}(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right|\mathcal{B}) = 0

を満たす。 Q.E.D.

補題３ \mathcal{B}'を\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族とし、\mathcal{B}を\mathcal{B}'の部分\sigma-加法族とする。このとき、f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})から得られる\mathcal{B}'-可測関数 \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')は
\displaystyle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')=\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})+\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right)
と、「\mathcal{B}-可測関数」と「\mathcal{B}'-可測関数であり、\mathcal{B}と直交する関数」の和として一意的に表すことができる。

証明. 非自明な部分は

\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right|\mathcal{B} \right)=0

を示すことである(これが言えれば一意性も従う)。g \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})を任意に取る。\left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B})は\mathcal{B}-可測なので、\mathcal{B}'-可測でもあり、

\displaystyle \mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B})\big|\mathcal{B}'\right)=\left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B})

が成り立つ。よって、条件付き期待値作用素の自己随伴性から

\displaystyle \langle g, \left.\mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right|\mathcal{B}\right)\rangle= \langle\left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B}), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\rangle = \langle \mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B})\big|\mathcal{B}'\right), f\rangle = \langle \left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B}), f\rangle = \langle g, \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}) \rangle

と計算でき、内積の非退化性から

\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right|\mathcal{B}\right) = \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})

が示された*4。Q.E.D.

証明の最後の式において \mathcal{B}' \mapsto \mathcal{B}, \ \mathcal{B} \mapsto \{\emptyset, \mathbb{Z}_N\} とすれば

\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}) = \int_{\mathbb{Z}_N}f

がわかります。

定義５ \mathcal{B}, \mathcal{B}'を\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族とする。このとき、\mathcal{B}と\mathcal{B}'で生成される(すなわち\mathcal{B}と\mathcal{B}'を含む最小の)\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族を\mathcal{B} \vee \mathcal{B}'と表す。

補題４ \mathcal{B}, \mathcal{B}'を\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族とする。このとき、\mathcal{B}\vee \mathcal{B}'の任意のアトムは\mathcal{B}のアトムと\mathcal{B}'のアトムの共通部分として表すことができる。また、\mathcal{B}のアトムと\mathcal{B}'のアトムの空でない共通部分は\mathcal{B}\vee \mathcal{B}'のアトムである。

つまり、\mathcal{B}のアトム達の作る\mathbb{Z}_Nの分割と\mathcal{B}'のアトム達の作る\mathbb{Z}_Nの分割から共通部分を取ることによって得られる分割の細分をアトムの集合とするような\sigma-加法族が\mathcal{B}\vee\mathcal{B}'です。

証明. Bを\mathcal{B}\vee\mathcal{B}'のアトムとする。このとき、或る A \in \mathcal{B} と A' \in \mathcal{B}' が存在してB=A\cap A'でなければならないことはすぐにわかる(\mathcal{B}\vee\mathcal{B}'の定義とBがアトムであることを使う)。x \in Bをとる。x \in Aより、\mathcal{B}(x) \subset A。同様に\mathcal{B}'(x) \subset A'。よって、

B= (\mathcal{B}\vee\mathcal{B}')(x) \subset \mathcal{B}(x) \cap \mathcal{B}'(x) \subset A\cap A'=B

であり、B= \mathcal{B}(x) \cap \mathcal{B}'(x) と \mathcal{B}\vee\mathcal{B}'のアトムが\mathcal{B}のアトムと\mathcal{B}'のアトムの共通部分として表すことができることが示された。

逆に、A, A'をそれぞれ\mathcal{B}, \mathcal{B}'のアトムとして、B:=A\cap A'\in \mathcal{B}\vee\mathcal{B}', \ B\neq \emptysetとする(空でないことは仮定)。Bに含まれる\mathcal{B}\vee\mathcal{B}'のアトムB'を一つ選ぶと、前半の主張により\mathcal{B}のアトムCと\mathcal{B}'のアトムC'が存在して、B'=C\cap C'と書ける。x \in B'をとると、x \in C \cap Aであり、A, Cが\mathcal{B}のアトムであることから、A=C=\mathcal{B}(x)である。同様にA'=C'=\mathcal{B}'(x)。よって、B=B'となって、Bが\mathcal{B}\vee\mathcal{B}'のアトムであることがわかる。 Q.E.D.

次のL^2-ノルムに関する自明な評価は§7で用います。

補題５ \mathcal{B}を\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族とする。任意の関数 f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}) に対して
\displaystyle \left\|f\right\|_{L^2}^2=\left\|\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right\|_{L^2}^2+\left\|f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right\|_{L^2}^2
が成り立つ(勾股弦の定理)。よって、特に
\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right\|_{L^2} \leq \left\|f\right\|_{L^2}
が成り立つ。

証明. 補題２の分解より

\begin{align}\left\|f\right\|_{L^2}^2 &= \langle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})+\left(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})+\left(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right)\rangle\\ &=\left\|\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right\|_{L^2}^2+\left\|f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right\|_{L^2}^2+2\mathrm{Re}\left(\langle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}), f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\rangle\right)\end{align}

と計算できるが、条件付き期待値作用素の自己随伴性と f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})の直交性より

\displaystyle \langle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}), f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\rangle=\langle f, \left.\mathbb{E}\left(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right| \mathcal{B}\right)\rangle=\langle f, 0\rangle = 0

を得る。 Q.E.D.

最後に§10で用いる\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族のシフトを考えます。

定義６ \mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族\mathcal{B}とn \in \mathbb{Z}_Nに対してT^n\mathcal{B}:=\{T^nA \mid A \in \mathcal{B}\}と定義する。

A, A_1, A_2 \in \mathcal{B}, n \in \mathbb{Z}_Nに対して

T^n(\mathbb{Z}_N\setminus A) = \mathbb{Z}_N \setminus T^nA, \ T^n(A_1 \cup A_2) = T^nA_1 \cup T^nA_2, \ T^n(A_1 \cap A_2) = T^nA_1 \cap T^nA_2

が成り立つので、T^n\mathcal{B}も\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族となることがわかります。

また、T^n\mathcal{B}のアトムは\mathcal{B}のアトム\Omegaを用いてT^n\Omegaと表される(もう少し正確にみるとx \in \mathbb{Z}_Nに対して

\displaystyle T^n\left( \mathcal{B}(x)\right) = (T^n\mathcal{B})(x-n)

が成り立つ)ので、補題４より\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族\mathcal{B}, \mathcal{B}'とn \in \mathbb{Z}_Nに対して

\displaystyle T^n\mathcal{B} \vee T^n\mathcal{B}' = T^n(\mathcal{B} \vee \mathcal{B}')

が成り立つことがわかります。

補題６ \mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族\mathcal{B}, \ f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}), \ n \in \mathbb{Z}_Nに対して
\displaystyle \left.\mathbb{E}(T^nf\right|\mathcal{B}) = T^n\left.\mathbb{E}(f\right|T^{-n}\mathcal{B})
が成り立つ。

証明. x \in \mathbb{Z}_Nを取って

\begin{align}\left.\mathbb{E}(T^nf\right|\mathcal{B})(x) &= \mathbb{E}_{y \in \mathcal{B}(x)}(T^nf(y))=\mathbb{E}_{y \in \mathcal{B}(x)}(f(y+n)) =\mathbb{E}_{z \in \mathcal{B}(x)+n}(f(z))=\mathbb{E}_{z \in T^{-n}(\mathcal{B}(x))}(f(z))\\ &=\mathbb{E}_{z \in (T^{-n}\mathcal{B})(x+n)}(f(z)) = \left.\mathbb{E}(f\right|T^{-n}\mathcal{B})(x+n)= T^n\left.\mathbb{E}(f\right|T^{-n}\mathcal{B})(x)\end{align}

と計算できる。 Q.E.D.

*1:有限集合であることに注意。

*2:ここでは条件を最小には記述していません。

*3:2以上の整数が素因数分解されることと同様に証明できる。

*4:直接的に示すことも出来ます：x \in \mathbb{Z}_Nに対して

\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right|\mathcal{B}\right) (x) = \mathbb{E}_{\mathcal{B}(x)}\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right) = \frac{1}{\#\mathcal{B}(x)}\sum_{y \in \mathcal{B}(x)}\mathbb{E}_{\mathcal{B}'(y)}(f)
であり、\mathcal{B}(x)が \displaystyle \mathcal{B}(x) = \bigsqcup_{j=1}^{r_x}\mathcal{B}'_j と\mathcal{B}'においてアトム分解されているならば
\displaystyle \sum_{y \in \mathcal{B}(x)}\mathbb{E}_{\mathcal{B}'(y)}(f) = \sum_{j=1}^{r_x}\sum_{y \in \mathcal{B}'_j}\mathbb{E}_{\mathcal{B}'(y)}(f) = \sum_{j=1}^{r_x}\#\mathcal{B}'_j\cdot \mathbb{E}_{\mathcal{B}'_j}(f)= \sum_{j=1}^{r_x}\sum_{z \in \mathcal{B}'_j}f(z) = \sum_{z \in \mathcal{B}(x)}f(z)
と計算される。すなわち、
\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right|\mathcal{B}\right) (x) = \mathbb{E}_{\mathcal{B}(x)}(f)＝\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})(x)
が得られた。