2017-09-21

タオのセメレディ論文の§9を読む(その二)

この記事では、前記事の命題の証明を完成させます。

定義 $A$ を $\mathbb{Z}_N$ の部分集合とし、 $L^2(A):=\mathrm{Map}(A, \mathbb{C})$ とする。 $f, g \in L^2(A)$ に対して $\left\langle f, g\right\rangle_{L^2(A)}$ $:=\mathbb{E}_A(f\overline{g})$ とすると、 $L^2(A)$ はHilbert空間になる*1。 $f \in L^2(A)$ に対して $L^2(A)$ -ノルム $\left\|f\right\|_{L^2(A)}$ は

$\displaystyle \left\|f\right\|_{L^2(A)}:=\sqrt{\mathbb{E}_A(\left|f\right|^2)}$

で与えられる。

前記事の第四帰着を更にもう一段階帰着させます。

第五帰着 前記事命題の設定のもと、任意の $\delta > 0$ 及び $k \in \mathbb{Z}_+$ に対して或る正整数 $k_{\ast}=k_{\ast}(k, \delta, M)$ が存在し、任意の正整数 $\lambda$ に対して次が成り立つことを示せば十分である：
前記事①に現れる各アトム $A_i$ に対し、或る $1 \leq a, s \leq k_{\ast}/k$ なるペア $(a, s)$ であって、任意の $0 \leq j \leq k-1$ に対して

$\displaystyle \left\|F_{\lambda(a+js)}-F_{\lambda a}\right\|_{L^2(A_i)} \leq \frac{\delta}{8k}$

が成り立つようなものが少なくとも一つ存在する。

帰着の確認

第五帰着の主張が成立すると仮定する。 $\lambda, i$ を固定し、 $A_i=A$ と略記する。仮定した不等式とCauchy-Schwarzの不等式より、任意の $0 \leq j \leq k-1$ に対して

$\displaystyle \mathbb{E}_A\left(\left| F_{\lambda (a+js)}-F_{\lambda a}\right|\right) \leq \frac{\delta}{8k}$

が成り立つ。一方、 $A$ の選び方から、任意の $0 \leq j \leq k-1$ に対して

$\displaystyle \mathbb{E}_A\left(\left|T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}-F_{\lambda (a+js)}\right|\right) \leq \frac{\delta}{8k}$

である。理由: $\displaystyle A \subset \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})$ 及び $1 \leq a+js \leq k_{\ast}$ なので、 $x \in A$ をとると $x \in E_{\lambda (a+js)}(k, \delta, \mathcal{B})$ である。よって、この集合の定義と $A$ がアトムであることより、 $x \in A$ を一つ取って

$\displaystyle \mathbb{E}_A\left( \left|T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}-F_{\lambda(a+js)}\right|\right)=\left. \mathbb{E}\left(\left|T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}-F_{\lambda(a+js)}\right| \right| \mathcal{B}\right)(x)\leq \frac{\delta}{8k}$

が成り立つ。 $j=0$ の場合の

$\displaystyle \mathbb{E}_A\left(\left|T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}-F_{\lambda a}\right|\right) \leq \frac{\delta}{8k}$

と合わせると、三角不等式によって、任意の $0 \leq j \leq k-1$ に対して

$\displaystyle \mathbb{E}_A\left( \left|T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}-T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}\right|\right) \leq \frac{3\delta}{8k}$

が成り立つことがわかる。この不等式から、任意の $0 \leq j \leq k-1$ に対して

$\displaystyle \mathbb{E}_A\left( \mathbf{1}_{\left|T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}-T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}\right| > \frac{4}{5}T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}} \cdot T^{\lambda a}f_{U^{\perp}} \right) \leq \frac{15\delta}{32 k}$

が成り立つ*2。 $x \in A$ ならば $x \in E_{\lambda a}(k, \delta, \mathcal{B})$ なので、 $x \in A$ を一つ取って

$\displaystyle \mathbb{E}_A(T^{\lambda a}f_{U^{\perp}})=\left.\mathbb{E}\left(T^{\lambda a}f_{U^{\perp}} \right|\mathcal{B}\right)(x)\geq \frac{\delta}{2}$

であることに注意すると、

$\begin{align} &\mathbb{E}_A\left( \mathbf{1}_{\left|T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}-T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}\right| \leq \frac{4}{5}T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}, 0 \leq {}^{\forall}j \leq k-1} \cdot T^{\lambda a}f_{U^{\perp}} \right) \\ &= \mathbb{E}_A(T^{\lambda a}f_{U^{\perp}})-\mathbb{E}_A\left( \mathbf{1}_{\left|T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}-T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}\right| > \frac{4}{5}T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}, 0 \leq {}^{\exists}j \leq k-1} \cdot T^{\lambda a}f_{U^{\perp}} \right) \\ &\geq \mathbb{E}_A(T^{\lambda a}f_{U^{\perp}})-\sum_{j=0}^{k-1}\mathbb{E}_A\left( \mathbf{1}_{\left|T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}-T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}\right| > \frac{4}{5}T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}} \cdot T^{\lambda a}f_{U^{\perp}} \right)\geq \frac{\delta}{2} - \frac{15\delta}{32} \geq \frac{\delta}{32}\end{align}$

と評価できる。よって、特性関数は $k$ 乗しても変わらないことと、Hölderの不等式と $f_{U^{\perp}}$ の非負性から

$\displaystyle \mathbb{E}_A\left( \mathbf{1}_{\left|T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}-T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}\right| \leq \frac{4}{5}T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}, 0 \leq {}^{\forall}j \leq k-1} \cdot \left(T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}\right)^k \right) \geq \left( \frac{\delta}{32}\right)^k$

が成り立つことがわかった。ここで、次の不等式が点毎に成り立つことに注意する：

$\displaystyle \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}} \geq \frac{1}{5^k}\mathbf{1}_{\left|T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}-T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}\right| \leq \frac{4}{5}T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}, 0 \leq {}^{\forall}j \leq k-1} \cdot \left(T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}\right)^k.$

これは、右辺の特性関数の値が $0$ のときは自明に成立し、 $1$ のときは任意の $0 \leq j \leq k-1$ に対して

$\displaystyle\left|T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}(x)-T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}(x)\right| \leq \frac{4}{5}T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}(x)$

より

$\displaystyle T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}(x) \geq \frac{1}{5}T^{\lambda a}f_{U^{\perp}}(x)$

であることからわかる。従って、

$\displaystyle \mathbb{E}_A\left(\prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}} \right) \geq \left(\frac{\delta}{160}\right)^k$

となって第四帰着の主張が成立する。確認完了

$F_n$ の定義から目標物は次のように言い換えられます。

第五帰着(言い換え) 前記事命題の設定のもと、任意の $\delta > 0$ 及び $k \in \mathbb{Z}_+$ に対して或る正整数 $k_{\ast}=k_{\ast}(k, \delta, M)$ が存在し、任意の正整数 $\lambda$ に対して次が成り立つことを示せば十分である：
前記事①に現れる各アトム $A_i$ に対し、或る $1 \leq a, s \leq k_{\ast}/k$ なるペア $(a, s)$ であって、任意の $0 \leq j \leq k-1$ に対して

$\displaystyle \left\|\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda(a+js), h}g_h)-\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda a, h}g_h)\right\|_{L^2(A_i)} \leq \frac{\delta}{8Mk}$

が成り立つようなものが少なくとも一つ存在する。

帰着は以上で、証明の本質的部分へ入ります。 $A_i=A$ を固定します。

補題 (コンパクト性, Lemma 9.3) これまでの記号設定において、任意の $k_{\ast}$ に対して或る整数
$L\ll_{k, M, \delta}1$ と $1\leq m_1, \dots, m_L \leq k_{\ast}$ が存在して、

$\displaystyle \min_{1 \leq l \leq L}\left\|\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda m, h}g_h)-\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda m_l, h}g_h)\right\|_{L^2(A)} \leq \frac{\delta}{16Mk}$

が任意の $1 \leq m \leq k_{\ast}$ に対して成立する。

証明. $1 \leq m \leq k_{\ast}$ に対して $f_m=\left.\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda m, h}g_h)\right|_A \in L^2(A)$ と略記する。次のアルゴリズムを考える：

初期化 $J:=0$
代入 $L^2(A)$ の部分空間 $V$ を $\displaystyle V:=\begin{cases}\{0\} & (J=0) \\ \langle v_1, \dots, v_J\rangle & (J\geq 1)\end{cases}$ と定義する。
If 或る $1 \leq m \leq k_{\ast}$ が存在して $\displaystyle \mathrm{dist}_{L^2(A)}(f_m, V) \geq \frac{\delta}{64Mk}$ then 代入 $\displaystyle v_{J+1}:=\frac{f_m-\sum_{j=1}^J\langle f_m, v_j\rangle_{L^2(A)} v_j}{\left\|f_m-\sum_{j=1}^J\langle f_m, v_j\rangle_{L^2(A)} v_j\right\|_{L^2(A)}}, \ J:=J+1,$ 2. へ
else 停止

ここで、 $\displaystyle \mathrm{dist}_{L^2(A)}(f_m, V) := \inf\{\left\|f_m-v\right\|_{L^2(A)} \mid v \in V\}$ . 構成の仕方から $\{v_j\}$ は正規直交系をなすが、3. において

$\displaystyle \left|\langle f_m, v_{J+1}\rangle_{L^2(A)}\right| \geq \frac{\delta}{64Mk}$

を満たしている。理由: 付録で示している等式より

$\displaystyle \langle f_m, f_m-\sum_{j=1}^J\langle f_m, v_j\rangle_{L^2(A)} v_j\rangle_{L^2(A)} = \left\|f_m\right\|_{L^2(A)}^2-\sum_{j=1}^J\left|\langle f_m, v_j\rangle_{L^2(A)} \right|^2 = \left\|f_m-\sum_{j=1}^J\langle f_m, v_j\rangle_{L^2(A)}v_j\right\|_{L^2(A)}^2$

であり、 $\displaystyle \sum_{j=1}^J\langle f_m, v_j\rangle_{L^2(A)}v_j \in V$ なので

$\displaystyle \langle f_m, v_{J+1} \rangle_{L^2(A)} = \left\|f_m-\sum_{j=1}^J\langle f_m, v_j\rangle_{L^2(A)}v_j\right\|_{L^2(A)} \geq \frac{\delta}{64Mk}$

を得る。

このアルゴリズムは時間 $O_{k, M, \delta}(1)$ で停止する。理由: 構成より各 $v_j$ に対して

$\displaystyle \left|\langle f_m, v_j\rangle_{L^2(A)}\right| \geq \frac{\delta}{64Mk}$

であるような $m=m(j) \in \mathbb{Z}_N$ が存在する。内積の公理と $c_{\lambda m, h}$ が $A$ 上定数であることより

$\displaystyle \langle f_m, v_j\rangle_{L^2(A)} = \langle \mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda m, h}g_h), v_j\rangle_{L^2(A)} = \frac{1}{\#H}\sum_{h \in H}\langle c_{\lambda m, h}g_h, v_j\rangle_{L^2(A)} = \mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda m, h}\langle g_h, v_j\rangle_{L^2(A)})$

であるから、 $c_{\lambda m, h}$ の有界性とCauchy-Schwarzの不等式より

$\displaystyle \mathbb{E}_{h \in H}\left(\left|\langle g_h, v_j\rangle_{L^2(A)}\right|^2\right) \geq \left|\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda m, h}\langle g_h, v_j\rangle_{L^2(A)})\right|^2=\left| \langle f_m, v_j\rangle_{L^2(A)}\right|^2 \geq \left(\frac{\delta}{64Mk}\right)^2$

を得る( $m(j)$ はこの時点でなくなる)。 $j=1, \dots, J$ で足し合わせると

$\displaystyle \mathbb{E}_{h \in H}\left( \sum_{j=1}^J\left|\langle g_h, v_j\rangle_{L^2(A)}\right|^2\right) \geq \left( \frac{\delta}{64Mk}\right)^2J$ −①.

$h \in H$ を固定するとBesselの不等式(付録)と $g_h$ の有界性より

$\displaystyle \sum_{j=1}^J\left|\langle g_h, v_j\rangle_{L^2(A)}\right|^2 \leq \left\|g_h\right\|_{L^2(A)}^2 \leq 1$

なので、①の左辺は $1$ で上から押さえられる。従って、

$\displaystyle J \leq \left( \frac{64Mk}{\delta}\right)^2 = O_{k, M, \delta}(1)$

が示された。

このアルゴリズムが停止した際の $J$ 次元空間 $V$ を考える。アルゴリズムが停止しているということから、任意の $1 \leq m \leq k_{\ast}$ に対する $f_m$ 達は $V$ から $L^2(A)$ -距離にして $\delta/64Mk$ までのところに住んでいることがわかる。このことから、

$f_m$ 達( $1 \leq m \leq k_{\ast}$ )の中で、どの二つを取っても $L^2(A)$ -距離で $\frac{\delta}{16Mk}$ よりも遠く離れているようなものは
高々 $O_{k, M, \delta, J}(1) = O_{k, M, \delta}(1)$ 個しか選ぶことができない。

ことがわかる。理由: 各 $1 \leq m \leq k_{\ast}$ に対して、最短距離定理(付録)より

$\displaystyle \left\|f_m-v_m\right\|_{L^2(A)}=\mathrm{dist}_{L^2(A)}(f_m, V)$

なる $v_m \in V$ が一意的に存在する。このとき、 $\displaystyle \left\|f_m-v_m\right\|_{L^2(A)} < \frac{\delta}{64Mk}$ である。

$f_m, \ f_{m'}$ ( $1 \leq m, m' \leq k_{\ast}$ )が

$\displaystyle \left\|f_m-f_{m'}\right\|_{L^2(A)} > \frac{\delta}{16Mk}$

を満たすと仮定する。このとき、三角不等式より

$\displaystyle \left\|v_m-v_{m'}\right\|_{L^2(A)} \geq \left\|f_m-f_{m'}\right\|_{L^2(A)}-\left\|f_m-v_m\right\|_{L^2(A)}-\left\|f_{m'}-v_{m'}\right\|_{L^2(A)} > \frac{\delta}{32Mk}$

が成り立つ。また、 $c_{\lambda m, h}, g_h$ が有界であることから $f_m$ は $\left\|f_m\right\|_{L^2(A)} \leq 1$ を満たすので、

$\displaystyle \left\|v_m\right\|_{L^2(A)} \leq \left\|f_m\right\|_{L^2(A)}+\left\|f_m-v_m\right\|_{L^2(A)} < 1+\frac{\delta}{64Mk}$

である( $v_{m'}$ についても同様)。従って、

$\displaystyle \left\{ v \in V \left| \left\|v\right\|_{L^2(A)} < 1+\frac{\delta}{64Mk} \right\}\right.$

の元達であって、どの二つを取っても $L^2(A)$ -距離で $\delta/32Mk$ よりも遠く離れているようなものは高々 $O_{k, M, \delta, J}(1)$ 個しか選ぶことができない*3ことから主張が従う。

よって、 $f_m$ ( $1 \leq m \leq k_{\ast})$ の中から適当に $f_{m_1}, \dots, f_{m_L}$ を選んで、これらの中からどの二つを取っても $L^2(A)$ -距離で $\frac{\delta}{16Mk}$ よりも遠く離れているが、これら以外の $f_m$ については必ず $f_{m_1}, \dots, f_{m_L}$ のいずれかと $\frac{\delta}{16Mk}$ 以下の距離になるようにすれば( $k_{\ast}$ は有限なので選べる*4 )、直前に確認した事実から $L=O_{k, M, \delta}(1)$ である。この $f_{m_1}, \dots, f_{m_L}$ に対して補題の主張が成立している。 Q.E.D.

前記事命題の証明

$k_{\ast}=k_{\ast}(k, \delta, M):=k\times N_{\mathrm{vdW}}(k, O_{k, M, \delta}(1))$ とする。ここで、 $O_{k, M, \delta}(1)$ は補題の $L$ に対するバウンドで、 $N_{\mathrm{vdW}}(k, m)$ はvan der Waerdenの定理によって存在する整数。この $k_{\ast}$ に対して補題によって存在する $L \ll_{k, M, \delta} 1, \ 1 \leq m_1, \dots, m_L \leq k_{\ast}$ をとって、色塗り写像 $c\colon \{1, \dots, k_{\ast}\} \to \{1, \dots, L\}$ を

$\displaystyle c(m) := \min\left\{1 \leq l \leq L \left| \left\|\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda m, h}g_h)-\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda m_l, h}g_h)\right\|_{L^2(A)} \leq \frac{\delta}{16MK}\right\}\right.$

と定義する。 $c$ がwell-definedであることは補題の主張からわかる。よって、van der Waerdenの定理により整数 $1 \leq a, s \leq k_{\ast}/k$ が存在して、長さ $k$ の等差数列

$\displaystyle a, \ a+s, \ \dots, \ a+(k-1)s$

は同じ色で塗られている。すなわち、或る $1 \leq l \leq L$ が存在して、任意の $0 \leq j \leq k-1$ に対して

$\displaystyle \left\|\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda (a+js), h}g_h)-\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda m_l, h}g_h)\right\|_{L^2(A)} \leq \frac{\delta}{16MK}$

が成り立つ。従って、任意の $0 \leq j \leq k-1$ に対して

$\begin{align}&\left\|\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda (a+js), h}g_h)-\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda a, h}g_h)\right\|_{L^2(A)} \\ &\leq \left\|\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda (a+js), h}g_h)-\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda m_l, h}g_h)\right\|_{L^2(A)}+\left\|\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda a, h}g_h)-\mathbb{E}_{h \in H}(c_{\lambda m_l, h}g_h)\right\|_{L^2(A)} \leq \frac{\delta}{8Mk}\end{align}$

と評価でき、第五帰着(言い換え)の主張が証明された。以上で、前記事の命題の証明が完了する。 Q.E.D.

付録 Besselの不等式

命題 $(\mathcal{H}, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ をHilbert空間とし、 $\{x_i\}_{i=1}^n$ を正規直交系とする。このとき、任意の $x \in \mathcal{H}$ に対して

$\displaystyle \left\|x-\sum_{i=1}^n\langle x, x_i\rangle x_i\right\|^2=\left\|x\right\|^2-\sum_{i=1}^n\left|\langle x, x_i\rangle \right|^2$

が成り立つ。よって、特にBesselの不等式

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\left|\langle x, x_i\rangle\right|^2 \leq \left\|x\right\|^2$

が成立する*5。

証明. 内積の公理に従って計算をすると

$\displaystyle \left\|x-\sum_{i=1}^n\langle x, x_i\rangle x_i\right\|^2 = \left\|x\right\|^2-\sum_{i=1}^n\overline{\langle x, x_i\rangle}\langle x, x_i\rangle - \sum_{i=1}^n\langle x, x_i\rangle \langle x_i, x\rangle + \sum_{i, j=1}^n\langle x, x_i\rangle \overline{\langle x, x_j\rangle}\langle x_i, x_j \rangle$

と展開される。三つの和について最初の二つは明らかに $\displaystyle \sum_{i=1}^n\left|\langle x, x_i\rangle \right|^2$ であるが、最後の和についても $\{x_i\}_{i=1}^n$ が正規直交系であることに注意すれば同じく $\displaystyle \sum_{i=1}^n\left|\langle x, x_i\rangle \right|^2$ であることがわかる。 Q.E.D.

付録最短距離定理

命題 $(\mathcal{H}, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ をHilbert空間とし、 $V$ を $\mathcal{H}$ の閉凸部分集合とする。このとき、任意の $x \in \mathcal{H}$ に対して一意的に $v_0 \in V$ が存在して

$\displaystyle \left\|x-v_0\right\| = \mathrm{dist}(x, V) = \inf\left\{\left\|x-v\right\| \left| v \in V\right\}\right.$

が成り立つ。

証明. $d=\mathrm{dist}(x, V)$ とする。下限の定義より $V$ の列 $\{v_n\}_{n=1}^{\infty}$ であって

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left\|x-v_n\right\|=d$

が成り立つようなものが存在する。中線定理より

$\begin{align} \left\|v_n-v_m\right\|^2 &= \left\|(x-v_n)-(x-v_m)\right\|^2+\left\|(x-v_n)+(x-v_m)\right\|^2-\left\|(x-v_n)+(x-v_m)\right\|^2 \\ &= 2\left\|x-v_n\right\|^2+2\left\|x-v_m\right\|^2-\left\|(x-v_n)+(x-v_m)\right\|^2\end{align}$

と計算できるが、 $V$ の凸性より

$\displaystyle \left\|(x-v_n)+(x-v_m)\right\|^2 = 4\left\|x-\frac{v_n+v_m}{2}\right\|^2 \geq 4d^2$

なので

と評価できる。よって、 $v_n, v_m$ の取り方から $\{v_n\}$ はCauchy列をなすことがわかる。 $\mathcal{H}$ がHilbert空間で $V$ は閉なので、

$\displaystyle v_0 := \lim_{n \to \infty}v_n \in V$

が存在する。このとき、

$\displaystyle \left\|x-v_0\right\| = \lim_{n \to \infty}\left\|x-v_n\right\|=d$

が成り立つ。一意性を示すために $d=\left\|x-v\right\|$ なる $v \in V$ をとる。先ほどと同じ計算によって

なので、 $v=v_0$ が従う。 Q.E.D.

本文では $V$ が有限次元部分空間の場合に最短距離定理を適用します。

補題 $(\mathcal{H}, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ をHilbert空間とし、 $V$ を $\mathcal{H}$ の有限次元部分空間とする。このとき、 $V$ は閉かつ凸である。

証明. 部分空間が凸であることは明らか。閉であることは完備性から出る(§5(その一)の付録を参照)。 Q.E.D.

*1:Hilbert空間になることは $L^2(\mathbb{Z}_N)=\mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ の場合と同様に確かめられる。

*2:これはMarkovの不等式の証明と丸っきり同様にすればよい。

*3: $A$ に依存しないことは例えば次のようにしてわかる: $V$ の正規直交基底を取っているため、 $v \in V$ に対して $\left\|v\right\|_{\infty}\leq \left\|v\right\|_{L^2(A)} \leq J\left\|v\right\|_{\infty}$ が成り立ち( $v=\sum_{j=1}^J\alpha_jv_j$ に対して、 $\left\|v\right\|_{\infty}:=\max\{\left|\alpha_j\right|\}$ )、数ベクトル空間に同型で送って幾何的に考えればよい。