グリーン・タオ論文の§10を読む（その二）

この記事でGoldston-Yıldırım型定理Bを証明します。

(再掲) Goldston-Yıldırım型定理B (Proposition, 9.6) $m$ を正整数とし、 $h_1, \dots, h_m$ を $\left|h_i\right| \leq N^2 \ (1 \leq i \leq m)$ を満たすような相異なる整数とし、

$\displaystyle \Delta := \prod_{1 \leq i < j \leq m}\left|h_i-h_j\right|$

とおく。 $B$ を長さが $R^{10m}$ 以上であるような $\mathbb{R}$ 内の区間と $\mathbb{Z}$ の共通部分として、 $W$ と互いに素な整数 $1 \leq b < W$ をとる(以上、 $m$ 以外全て $N$ 依存)。このとき、

$\begin{align}&\left.\mathbb{E}\left(\Lambda_R(W(x+h_1)+b)^2\cdots \Lambda_R(W(x+h_m)+b)^2\right| x \in B\right) \\ &\leq \left(1+o_m(1)\right)\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right)\end{align}$

が成り立つ。

証明. 前記事でのGoldston-Yıldırım型定理Aの証明と同様の流れで証明する。実際、 $t=1, \ \psi_i(x)=x+h_i$ として全く同じ変形を実行することができ、 $\omega_X(p)$ の定義を

$\displaystyle \omega_X(p):=\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in X}\mathbf{1}_{W(x+h_i)+b \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_p\right)$

と変更すれば前記事補題３の直前まではそのまま成立する。線形形式の一次独立性がなくなっているので、補題３に対応する内容から議論を始めよう。

補題１ (Lemma 10.5) $p \leq w(N)$ のとき、 $X \neq \emptyset$ であれば $\omega_X(p)=0$ である。従って、 $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1$ である。また、 $p > w(N)$ のときは、 $\#X=1$ であれば $\omega_X(p)=p^{-1}, \$ $\#X\geq 2$ であれば $\omega_X(p) \leq p^{-1}$ が成り立つ。更に、 $\#X\geq 2$ のときは $p$ が $\Delta=\prod_{1 \leq i < j \leq m}\left|h_i-h_j\right|$ を割らない限り $\omega_X(p)=0$ である。

証明. $p \leq w(N)$ のときは $W(x+h_i)+b \equiv b \not \equiv 0 \pmod{p}$ なので $\omega_X(p)=0$ である。 $p > w(N)$ かつ $X \neq \emptyset$ のとき、全ての $i \in X$ に対して $W(x+h_i)+b \equiv 0\pmod{p}$ となるような $x \in \mathbb{Z}_p$ の個数を数えればよいが、 $h_i \bmod{p}$ が全ての $i \in X$ に対して等しいときに限り一つ存在し、そうでないときは一つもない。このことから、残りの主張が全て従う。 Q.E.D.

よって、

$\displaystyle E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = 1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)\sum_{i=1}^m(p^{-1-z_i}+p^{-1-z_i'}-p^{-1-z_i-z_i'})+\mathbf{1}_{p > w(N), p \mid \Delta}(p)\lambda_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

と書ける。ここで、

$\displaystyle \lambda_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = \sum_{\substack{X, X' \subset \{1, \dots, m\} \\ \#(X \cup X') \geq 2}}\frac{O(p^{-1})}{p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_i'}}$

である。これを次のように積 $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=E_p^{(0)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')E_p^{(2)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')E_p^{(3)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ に分ける：

$\begin{align} E_p^{(0)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') &:= 1+\mathbf{1}_{p > w(N), p \mid \Delta}(p)\lambda_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') \\ E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') &:= \frac{E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')}{E_p^{(0)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i})(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i'})(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i-z_i'})^{-1}} \\ E_p^{(2)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') &:=\prod_{i=1}^m(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i})^{-1}(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i'})^{-1}(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i-z_i'}) \\ E_p^{(3)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')&:= \prod_{i=1}^m(1-p^{-1-z_i})(1-p^{-1-z_i'})(1-p^{-1-z_i-z_i'})^{-1}.\end{align}$

収束領域は後で調べることにして、 $j=0, 1, 2, 3$ に対して無限積を

$\displaystyle G_j(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'):=\prod_pE_p^{(j)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

と定義すると、

$\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=G_0(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')G_1(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')G_2(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')G_3(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

が成り立つ。前記事と同じく $G_3$ は $\mathbb{C}^{2m}$ 全体で有理型。

$G_0, G_1, G_2$ の収束領域

補題２ (Lemma 10.6) $0 < \sigma \leq 1/6m$ とし、 $j=0, 1, 2$ とすると、 $G_j$ は $\mathcal{D}_{\sigma}^m$ で絶対収束し、解析関数を定める。更に、評価

$\displaystyle \left\|G_0\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^m)} \leq O_m\left(\frac{\log R}{\log \log R}\right)^i\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{2m\sigma-1})\right),\quad 0 \leq i \leq m,$

$\left\|G_0\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq \exp\left(O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)\right), \quad \left\|G_1\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)}\leq O_m(1),\quad \left\|G_2\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_{m, w(N)}(1),$

$\displaystyle G_0(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = \prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right),\quad G_1(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=1+o_m(1), \quad G_1(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=\left(\frac{W}{\varphi(W)}\right)^m$

が成り立つ。

証明. $G_2$ については前記事と全く同じ。 $G_1$ については、 $p > w(N), p \mid \Delta$ のときに $E_p^{(1)}$ の分母分子に現れる $\lambda_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ の項の部分が異なるが、 $p^{-1+\bullet}$ の部分はやはり消えるように定義されているため、全く同じ議論がそのまま通用する*1。よって、 $G_0$ に関する主張にのみ新しい議論が必要となる。 $G_0$ は有限積

$\displaystyle G_0(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = \prod_{p \mid \Delta}E_p^{(0)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

なので収束性は問題にならない。数論的関数 ω(n) - INTEGERSの記号と補題を用いると、

$\displaystyle \omega(\Delta) = O\left(\frac{\log \Delta}{\log \log \Delta}\right)$

であるが、各 $h_i$ は条件 $\left|h_i\right| \leq N^2$ を満たすので、

$\displaystyle \Delta = \prod_{1 \leq i < j \leq m}\left|h_i-h_j\right| \leq N^{m^2} \leq R^{O_m(1)}$

であり、

$\displaystyle \omega(\Delta) = O_m\left(\frac{\log R}{\log \log R}\right)$

が成り立つ。さて、 $G_0$ を $0 \leq i \leq m$ 階微分することを考える。このとき、ライプニッツ則*2から $\omega(\Delta)^i$ 個の項の和として表わすことができ*3、各項の各因子( $p \mid \Delta$ )は $\lambda_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ の定義より $\mathcal{D}_{\sigma}^{m}$ 上で

$\displaystyle 1+O_m(p^{2m\sigma-1})$

で上から押さえられる*4。よって、評価

$\displaystyle \left\|G_0\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^m)} \leq O_m\left(\frac{\log R}{\log \log R}\right)^i\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{2m\sigma-1})\right),\quad 0 \leq i \leq m,$

が成り立つことがわかった。この公式の $i=m, \ \sigma=1/6m$ の場合を考えて、

$\left\|G_0\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq \exp\left(O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

を示すには

$\displaystyle O_m\left(\frac{\log R}{\log \log R}\right)^m \leq \exp\left(O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

であることから、

$\displaystyle \prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{2}{3}})\right) \leq \exp\left(O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

を示せばよい。対数を取れば

$\displaystyle \sum_{p \mid \Delta}\log \left(1+O_m(p^{-\frac{2}{3}})\right) \leq O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)$

が示したい評価となるが、 $X > 0$ に対して $X \geq \log(1+X)$ であり、 $\Delta \leq R^{O_m(1)}$ なので

$\displaystyle \sum_{p \mid \Delta}p^{-\frac{2}{3}} \leq O(\log^{\frac{1}{3}}\Delta)$

に帰着される。

$\displaystyle \sum_{p \mid \Delta}p^{-\frac{2}{3}} \leq \sum_{n \leq \omega(\Delta)}n^{-\frac{2}{3}} \leq \sum_{n \leq O\left(\frac{\log \Delta}{\log \log \Delta}\right)}n^{-\frac{2}{3}}$

と評価できるが、Abelの総和法より $\sum_{n \leq x}n^{-\frac{2}{3}}=O(x^{\frac{1}{3}})$ なので所望の評価が得られる。

最後に、 $p^{-1} < p^{-\frac{1}{2}}$ より $E_p^{(0)}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = 1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})$ なので、

$\displaystyle G_0(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = \prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right)$

の成立がわかる。 Q.E.D.

前記事補題５を認めた上での定理Bの証明の完成

$G=G_0G_1G_2, \ \sigma=1/6m$ として前記事の補題５を適用する。Leibniz則と補題２より

$\displaystyle \left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_{i, m, w(N)}(1)\left(\frac{\log R}{\log \log R}\right)^i\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right),\quad 0 \leq i \leq m$

および*5

$\displaystyle \left\|G\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_{m, w(N)}(1)\exp\left(O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

が成り立ち、

$\displaystyle G(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = (1+o_m(1) )\left(\frac{W}{\varphi(W)}\right)^m\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right)$

と計算されるので、 $w(N)$ の増加速度が十分遅ければ前記事の補題５の帰結は

$\begin{align}&\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i' \\ &= (1+o_m(1) )\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right)+\sum_{i=1}^mO_{m}\left(\left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{1/6m}^m)}\log^{m-i}R\right)+O_{m}(e^{-\delta\sqrt{\log R}}) \\ &= (1+o_m(1) )\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right)+O_{m, w(N)}\left(\frac{\log^mR}{\log \log R}\right)^m\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right)\\ &=(1+o_m(1) )\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right) \end{align}$