ヒルベルトの定理90とピタゴラス数

Pythagoras数

$3^2+4^2=5^2, \ 5^2+12^2=13^2$ はよく知られていますが、 $(3, 4, 5)$ や $(5, 12, 13)$ のことをPythagoras数またはPythagorasの三つ組と呼びます。

定理整数 $x, y, z$ がPythagoras数である、すなわち $x^2+y^2=z^2$ を満たすための必要十分条件は、或る整数 $m, n$ と或る有理数 $t$ に対して $(x, y, z)=t(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)$ と書けることである。

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Hilbertの定理90

$L/K$ が有限次Galoisであるとき、ノルム準同型写像 $N_{L/K} \colon L^{\times} \to K^{\times}$ を

$\displaystyle N_{L/K}(\alpha) := \prod_{\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)}\sigma(\alpha)$

と定義します。

Hilbertの定理90 $L/K$ を有限次巡回拡大とし、 $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ , $G=\langle \sigma \rangle$ とする。このとき、 $\alpha \in L^{\times}$ が $N_{L/K}(\alpha)=1$ を満たすための必要十分条件は $\beta \in L^{\times}$ が存在して

$\alpha = \beta\sigma(\beta)^{-1}$

が成り立つことである。

Dedekindの補題 $G$ を群、 $K$ を体とする。相異なる $n$ 個の準同型写像 $\chi_1, \dots, \chi_n\colon G \to K^{\times}$ を考える。 $a_1, \dots, a_n \in K$ に対して、

$a_1\chi_1(g)+\cdots +a_n\chi_n(g) = 0$

が任意の $g \in G$ に対して成立するならば、 $a_1=\cdots =a_n=0$ である。

証明. $n$ に関する帰納法で証明する。 $n=1$ のときは、 $a_1\chi_1(g)=0$ のとき $\chi_1(g) \neq 0$ なので $a_1=0$ である。 $n > 1$ とし、 $n-1$ のときには示されたと仮定する。任意の $g \in G$ に対して $a_1\chi_1(g)+\cdots +a_n\chi_n(g) = 0$ が成り立つとして、 $a_1=\cdots = a_n=0$ を示す。 $\chi_1(h)\neq \chi_n(h)$ なる $h \in G$ をとって固定する。任意の $g \in G$ に対して

$a_1\chi_1(gh)+\cdots +a_n\chi_n(gh) = 0$

より

$a_1\chi_n(h)^{-1}\chi_1(h)\chi_1(g)+\cdots +a_{n-1}\chi_n(h)^{-1}\chi_{n-1}(h)\chi_{n-1}(g)+a_n\chi_n(g) =0$

が得られ、 $a_1\chi_1(g)+\cdots +a_n\chi_n(g) = 0$ から引けば

$\displaystyle a_1(1-\chi_n(h)^{-1}\chi_1(h) )\chi_1(g)+\cdots +a_{n-1}(1-\chi_n(h)^{-1}\chi_{n-1}(h) )\chi_{n-1}(g) = 0$

を得る。これに対して帰納法の仮定を適用すると $1 \leq i \leq n-1$ に対して $a_i(1-\chi_n(h)^{-1}\chi_i(h) )=0$ が従うが、 $\chi_1(h) \neq \chi_n(h)$ なので $a_1=0$ でなければならない。そうして、 $a_2\chi_2(g)+\cdots +a_n\chi_n(g) = 0$ となるため、帰納法の仮定により $a_2=\cdots =a_n=0$ となる。 Q.E.D.

定理90の証明. $\alpha = \beta\sigma(\beta)^{-1}$ が成り立つときは、

$N_{L/K}(\alpha)=N_{L/K}(\beta\sigma(\beta)^{-1}) = N_{L/K}(\beta)N_{L/K}(\sigma(\beta))^{-1}=N_{L/K}(\beta)N_{L/K}(\beta)^{-1}=1$

となる。逆に、 $N_{L/K}(\alpha)=1$ のときを考える。 $\#G=n$ とする。

$\displaystyle N_i(\alpha) := \prod_{j=0}^i\sigma^j(\alpha),\quad i=0, 1, \dots, n-1$

と $N_i(\alpha)$ を導入する( $N_0(\alpha)=\alpha, \ N_{n-1}(\alpha)=N_{L/K}(\alpha)=1$ )。 $\sigma^i \colon L^{\times} \to L^{\times} (0 \leq i \leq n-1)$ に対してDedekindの補題を適用することにより、 $\gamma \in L^{\times}$ であって

$\displaystyle \beta:=\sum_{i=0}^{n-1}N_i(\alpha)\sigma^i(\gamma) \neq 0$

が成り立つようなものが存在する。 $0 \leq i \leq n-2$ に対して

$\alpha\sigma(N_i(\alpha) )=N_{i+1}(\alpha)$ −①

が成り立つので、

$\displaystyle \sigma(\beta) = \alpha^{-1}\sum_{i=0}^{n-2}N_{i+1}(\alpha)\sigma^{i+1}(\gamma)+\sigma^n(\gamma)$

と計算できるが、 $\sigma^n(\gamma)=\gamma = \alpha^{-1}N_0(\alpha)\gamma$ であることに注意すると、 $\sigma(\beta)=\alpha^{-1}\beta$ 、すなわち $\alpha=\beta\sigma(\beta)^{-1}$ が成り立つことがわかった。 Q.E.D.

コホモロジー版

$G$ を有限群とし、 $M$ を $G$ -加群とします。このとき、 $G$ の $M$ における1-コサイクルを $M$ の元の族 $\{x_g\}_{g \in G}$ であって*1、

$x_{gh}=x_g+gx_h, \quad g, h \in G$

が成り立つようなものと定義します。 $G$ の $M$ における1-コサイクル全体の集合を $Z^1(G, M)$ と表します(自然にアーベル群をなします)。

また、 $M$ の元の族 $\{x_g\}_{g \in G}$ が $G$ の $M$ における1-コバウンダリーであるとは、 $y \in M$ を用いて $x_g=gy-y, \ (g \in G)$ と表すことができるときにいいます。 $G$ の $M$ における1-コバウンダリー全体の集合を $B^1(G, M)$ と表します( $Z^1(G, M)$ の部分群になっていることが簡単にわかります)。

そうして、第一コホモロジー群 $H^1(G, M)$ を

$H^1(G, M):=Z^1(G, M)/B^1(G, M)$

と定義します。Hilbertの定理90と言えば次の形で引用されることも多いです：

Hilbertの定理90 (コホモロジー版) $L/K$ を有限次Galoisとし、 $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ とする。
このとき、 $H^1(G, L^{\times})=0$ が成り立つ。

証明. $G$ の $L^{\times}$ における1-コサイクル $\{\alpha_{\sigma}\}_{\sigma \in G}$ をとる。 $L^{\times}$ は乗法群なので、

$\alpha_{\sigma \tau}=\alpha_{\sigma}\sigma(\alpha_{\tau}), \quad \sigma, \tau \in G$

が成り立つ。Dedekindの補題より( $\tau \colon L^{\times} \to L^{\times}$ )、

$\displaystyle \beta:=\sum_{\tau \in G}\alpha_{\tau}\tau(\gamma) \neq 0$

なる $\gamma \in L^{\times}$ が存在する。このとき、

$\displaystyle \sigma(\beta)= \sum_{\tau \in G}\sigma(\alpha_{\tau})\sigma \tau(\gamma) = \sum_{\tau \in G}\alpha_{\sigma}^{-1}\alpha_{\sigma \tau}\sigma \tau(\gamma)= \alpha_{\sigma}^{-1}\sum_{\tau \in G}\alpha_{\sigma \tau}\sigma \tau(\gamma) = \alpha_{\sigma}^{-1}\beta$

が任意の $\sigma \in G$ に対して成り立つ。 $\beta \mapsto \beta^{-1}$ と置き換えると、 $\alpha_{\sigma}=\sigma(\beta)\beta^{-1}$ が成り立つので、 $\{\alpha_{\sigma}\}_{\sigma \in G}$ は1-コバウンダリーである。 Q.E.D.

前節のHilbertの定理90において、 $N_{L/K}(\alpha) = 1$ のときは①より $\{N_i(\alpha)\}_{i=0}^{n-1}$ が1-コサイクルになっていることがわかります。

Hilbertの定理90を利用した最初の定理の証明

Olga Taussky, Noam Elkies, Takashi Ono等によって独立に何度も指摘されているように、Hilbertの定理90からピタゴラス数の一般公式を導出することができます*2。

最初の定理の証明 $x^2+y^2=z^2$ である場合のみ非自明。 $z=0$ であれば $x=y=0$ であり、 $m=n=0$ を取れるので $z \neq 0$ と仮定してよい。

$\displaystyle \alpha := \frac{x+y\sqrt{-1}}{z} \in \mathbb{Q}(\sqrt{-1})^{\times}$

を考える。 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{-1})/\mathbb{Q})$ は複素共役(の制限)が生成する二元群(巡回群)であり、

$\displaystyle N_{\mathbb{Q}(\sqrt{-1})/\mathbb{Q}}(\alpha) = \frac{x^2+y^2}{z^2} = 1$

である。よって、Hilbertの定理90より $\beta \in \mathbb{Q}(\sqrt{-1})^{\times}$ が存在して、

$\alpha = \beta/\overline{\beta}$

が成り立つ。必要ならば適当な有理整数倍を考えることによって $\beta$ はGauss整数であると仮定してよい。すなわち、有理整数 $m, n$ を用いて $\beta =m+n\sqrt{-1}$ と書ける。このとき、

$\displaystyle \frac{x+y\sqrt{-1}}{z} = \frac{m+n\sqrt{-1}}{m-n\sqrt{-1}} = \frac{(m+n\sqrt{-1})^2}{(m-n\sqrt{-1})(m+n\sqrt{-1})} = \frac{m^2-n^2+2mn\sqrt{-1}}{m^2+n^2}$